Calcular as integrais : integral(16-4 x^2) e^-2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(16 - 4x^2) e^-2x dx. Esse exercício está na área de cálculo, especificamente envolvendo integração de funções que são produtos de polinômios e exponenciais. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral(16 - 4x^2) e^-2x dx = 16 integral e^-2x dx - 4 integral x^2 e^-2x dx
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
16 integral e^-2x dx
Sabemos que a integral de e^ax é 1a e^ax + C. Aqui, a = -2, então:
16 ( e^-2x-2 ) = -8 e^-2x

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
-4 integral x^2 e^-2x dx
Para essa parte, usaremos integração por partes. A ideia é escolher uma função para derivar ( u) e outra para integrar ( dv).

Passo 5

Escolhemos:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = e^-2x dx Rightarrow v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^-2x dx = u v - integral v , du = x^2 ( -12 e^-2x ) - integral ( -12 e^-2x ) 2x , dx = -12 x^2 e^-2x + integral x e^-2x dx
Agora, precisamos resolver integral x e^-2x dx.

Passo 7

Para integral x e^-2x dx, aplicamos novamente integração por partes:
Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-2x dx Rightarrow v = -12 e^-2x

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral x e^-2x dx = u v - integral v , du = x ( -12 e^-2x ) - integral ( -12 e^-2x ) dx = -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x dx = -12 x e^-2x - 14 e^-2x

Passo 9

Voltando à integral anterior:
integral x^2 e^-2x dx = -12 x^2 e^-2x + ( -12 x e^-2x - 14 e^-2x ) = -12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x - 14 e^-2x

Passo 10

Substituindo de volta na expressão original:
16 integral e^-2x dx - 4 integral x^2 e^-2x dx = -8 e^-2x - 4 ( -12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x - 14 e^-2x ) = -8 e^-2x + 2 x^2 e^-2x + 2 x e^-2x + e^-2x

Passo 11

Finalmente, simplificando os termos:
= (2 x^2 + 2 x - 7) e^-2x + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral(16 - 4x^2) e^-2x dx é igual a (2 x^2 + 2 x - 7) e^-2x + C.

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