Calcular as integrais :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de
. Isso envolve cálculo integral, especificamente integração de funções racionais onde a variável está no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender a técnica de substituição
-substuição, que ajuda a simplificar integrais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observando a expressão
, percebemos que a derivada dessa expressão em relação a
é
. No numerador, temos
, que é quase a derivada de
, exceto pelo fator constante. Isso sugere que a
-substituição será uma boa estratégia.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então, podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Aqui, os
do numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, onde
é a constante de integração. Aplicando isso:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta para a expressão original em termos de
:
Resposta
A integral de
é:
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Calcule
de modo a obter
e
.
(b) Calcule o comprimento do gráfico de
no intervalo
. (resposta
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