Calcular as integrais : integral 3 y(5-4 y^2)^10 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de . Isso envolve cálculo integral, especificamente integração de funções racionais onde a variável está no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender a técnica de substituição -substuição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observando a expressão , percebemos que a derivada dessa expressão em relação a é . No numerador, temos , que é quase a derivada de , exceto pelo fator constante. Isso sugere que a -substituição será uma boa estratégia.

Passo 3

Vamos definir dudy = -8y . Agora, vamos calcular a derivada de dy = du-8y em relação a :
Então, podemos rearranjar para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral 3y(5 - 4y^2)^10 , dy = integral 3yu^10 cdot du-8y e integral 3-8 cdot 1u^10 , du = -38 integral u^-10 , du na integral original:
Aqui, os do numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar -38 cdot u^-9-9 + C = 372 u^-9 + C = 124 u^-9 + C em relação a . A integral de é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 6

Finalmente, substituímos 124 (5 - 4y^2)^-9 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral de 124 (5 - 4y^2)^-9 + C é:

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