(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a). r(t) = <3 - t, 2t, 4t + 1>, 1 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento de uma curva representada pela função vetorial usando a fórmula da distância. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre comprimento de curvas e distâncias no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as posições nos pontos inicial e final do intervalo dado para , e depois aplicar a fórmula da distância entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de que nos interessam, que são e . Vamos calcular as posições vetoriais e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora que temos os dois pontos, e , vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula é:
Vamos substituir os valores:

Passo 4

Calculando os quadrados:
Podemos simplificar para:

Resposta

O comprimento calculado usando a fórmula da distância é , aproximadamente 9,165 unidades. Ao comparar com a resposta do item (a), observamos que esse método fornece a distância direta entre os pontos inicial e final, enquanto o item (a) provavelmente considerou o comprimento total da trajetória da curva.

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