(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a Fórmula 9 para encontrar a curvatura da curva definida pela função vetorial . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o estudo das curvas no espaço e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial . A derivada é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Passo 4
Com as derivadas em mãos, podemos aplicar a Fórmula 9 para a curvatura, que é:
Aqui, representa o produto vetorial e indica a magnitude do vetor.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial :
Resolvendo o determinante:
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor resultante:
Simplificando:
Como :
Passo 7
Vamos agora calcular a magnitude de e elevar ao cubo:
Então,
Passo 8
Finalmente, substituímos os valores na fórmula da curvatura: