(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a Fórmula 9 para encontrar a curvatura da curva definida pela função vetorial . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o estudo das curvas no espaço e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial . A derivada é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, podemos aplicar a Fórmula 9 para a curvatura, que é:
Aqui, representa o produto vetorial e indica a magnitude do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Resolvendo o determinante:

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor resultante:
Simplificando:
Como :

Passo 7

Vamos agora calcular a magnitude de e elevar ao cubo:
Então,

Passo 8

Finalmente, substituímos os valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é .

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(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.