(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r(t) = < 5 sen(t), t, 5 cos(t) >

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a Fórmula 9 para encontrar a curvatura da curva definida pela função vetorial r(t) = < 5 sen(t), t, 5 cos(t) >. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o estudo das curvas no espaço e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial r(t). A derivada é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de r(t):

Passo 4

Com as derivadas em mãos, podemos aplicar a Fórmula 9 para a curvatura, que é:
Aqui, x vezes y representa o produto vetorial e indica a magnitude do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Resolvendo o determinante:

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor resultante:
Simplificando:
Como :

Passo 7

Vamos agora calcular a magnitude de e elevar ao cubo:
Então,

Passo 8

Finalmente, substituímos os valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é .

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