Determine o comprimento da curva. r(t) = <t, 3 cos(t), 3 sen(t)>, -5 <= t <= 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de de t a . Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo de comprimentos de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que nos dá a velocidade da curva. Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Como é uma identidade trigonométrica.

Passo 5

Com o módulo constante sendo raiz(10), o comprimento da curva de a é a integral dessa constante em relação a t:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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