Determine o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de
de
a
. Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo de comprimentos de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá a velocidade da curva. Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Como é uma identidade trigonométrica.
Passo 5
Com o módulo constante sendo
, o comprimento da curva de
a
é a integral dessa constante em relação a
:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.