Determine o comprimento da curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de de a . Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo de comprimentos de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá a velocidade da curva. Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Como é uma identidade trigonométrica.

Passo 5

Com o módulo constante sendo , o comprimento da curva de a é a integral dessa constante em relação a :

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

Exercícios relacionados

Exercício 3 (2,5 pontos) Calcule a massa do sólido B, cuja função densidade de massa é , sendo descrito por e
Exercício 4 (2,5 pontos) Considere o campo . Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma partícula, cuja trajetória é dada por .
\footnotetext{
BOA PROVA!
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).