Determine o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de
de
a
. Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo de comprimentos de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá a velocidade da curva. Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Como é uma identidade trigonométrica.
Passo 5
Com o módulo constante sendo
, o comprimento da curva de
a
é a integral dessa constante em relação a
:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Exercício 3 (2,5 pontos) Calcule a massa do sólido B, cuja função densidade de massa é
, sendo
descrito por
e
Exercício 4 (2,5 pontos) Considere o campo
. Calcule o trabalho realizado pelo campo
para deslocar uma partícula, cuja trajetória é dada por
.
\footnotetext{
BOA PROVA!
\footnotetext{
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).