Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar a curvatura da curva definida por
. Para isso, vamos usar o Teorema 10, que nos ajuda a calcular a curvatura de uma curva paramétrica. Vamos precisar calcular as derivadas da função vetorial, fazer produtos vetoriais e trabalhar com normas (comprimentos de vetores).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que é
. Isso significa derivar cada componente da função:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
, que é a derivada de
:
Passo 4
Com
e
em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre elas, ou seja,
. O produto vetorial entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a norma desse produto vetorial, que é a magnitude do vetor resultante:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 6
Em seguida, precisamos calcular a norma de
elevada ao cubo:
Elevando ao cubo:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura usando o Teorema 10:
Podemos simplificar extraindo fatores comuns no numerador e denominador, mas essa é a forma geral da curvatura para a curva dada.
Resposta
A curvatura da curva é dada por