Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar a curvatura da curva definida por . Para isso, vamos usar o Teorema 10, que nos ajuda a calcular a curvatura de uma curva paramétrica. Vamos precisar calcular as derivadas da função vetorial, fazer produtos vetoriais e trabalhar com normas (comprimentos de vetores).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é . Isso significa derivar cada componente da função:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, , que é a derivada de :

Passo 4

Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre elas, ou seja, . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a norma desse produto vetorial, que é a magnitude do vetor resultante:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Passo 6

Em seguida, precisamos calcular a norma de elevada ao cubo:
Elevando ao cubo:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura usando o Teorema 10:
Podemos simplificar extraindo fatores comuns no numerador e denominador, mas essa é a forma geral da curvatura para a curva dada.

Resposta

A curvatura da curva é dada por

Exercícios relacionados

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .