(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido. r(t) = <3 - t, 2t, 4t + 1>, 1 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento de um segmento de reta definido pela função vetorial no intervalo de de 1 a 3. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um segmento de reta representado por uma função vetorial. A fórmula do comprimento de arco para uma função vetorial de a é dada por:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e representa a norma (ou módulo) dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função vetorial :
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a norma da derivada :

Passo 5

Com a norma encontrada, podemos integrar para encontrar o comprimento :
Como é constante em relação a , a integral fica:

Resposta

O comprimento do segmento de reta é unidades.

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