(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial
, onde
varia de
até
. O objetivo aqui é calcular o comprimento dessa trajetória usando a fórmula da distância e comparar com o que fizemos no item (a). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial, usando derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento da curva, ou arclength, de uma função vetorial
de
até
é dado pela integral de
dt de
até
. Ou seja:
Aqui,
é a derivada da função vetorial em relação a
, e
é o módulo desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo de
:
Note que o módulo é constante nesse caso.
Passo 5
Com o módulo constante, podemos simplificar a integral para calcular o comprimento:
Resposta
O comprimento da trajetória é
unidades. Comparando com a resposta do item (a), que também deve ser
, vemos que os resultados coincidem!