(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a). r(t) = (t + 2) i - t j + (3t - 5) k, -1 <= t <= 2

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial , onde t varia de -1 até . O objetivo aqui é calcular o comprimento dessa trajetória usando a fórmula da distância e comparar com o que fizemos no item (a). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial, usando derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento da curva, ou arclength, de uma função vetorial r(t) de até é dado pela integral de dt de a até b. Ou seja:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a t, e é o módulo desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t:
Derivando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo de :
Note que o módulo é constante nesse caso.

Passo 5

Com o módulo constante, podemos simplificar a integral para calcular o comprimento:

Resposta

O comprimento da trajetória é unidades. Comparando com a resposta do item (a), que também deve ser , vemos que os resultados coincidem!

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