(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t). r(t) = <t, t^2, 4>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar os vetores tangente e normal unitários, que são T(t) e N(t), para a curva definida por . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde vamos precisar derivar a função vetor e entender como normalizar vetores para torná-los unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetor r(t) em relação a t, que nos dá o vetor tangente não normalizado.

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor tangente para obter o vetor tangente unitário T(t). Para isso, calculamos a magnitude (ou norma) de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal unitário N(t), primeiro derivamos T(t) em relação a t:
Simplificando:
Agora, calculamos a magnitude de :
Simplificando mais:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, percebemos que:
Então:
Assumindo que está em um intervalo onde t é positivo, a expressão fica:
Finalmente, o vetor normal unitário é:
Simplificando:
N(t)

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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