(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar os vetores tangente e normal unitários, que são e , para a curva definida por . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde vamos precisar derivar a função vetor e entender como normalizar vetores para torná-los unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetor em relação a , que nos dá o vetor tangente não normalizado.

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor tangente para obter o vetor tangente unitário . Para isso, calculamos a magnitude (ou norma) de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal unitário , primeiro derivamos em relação a :
Simplificando:
Agora, calculamos a magnitude de :
Simplificando mais:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, percebemos que:
Então:
Assumindo que está em um intervalo onde é positivo, a expressão fica:
Finalmente, o vetor normal unitário é:
Simplificando:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

Exercícios relacionados

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.