(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar os vetores tangente e normal unitários, que são
e
, para a curva definida por
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde vamos precisar derivar a função vetor e entender como normalizar vetores para torná-los unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetor
em relação a
, que nos dá o vetor tangente não normalizado.
Passo 3
Agora, precisamos normalizar esse vetor tangente para obter o vetor tangente unitário
. Para isso, calculamos a magnitude (ou norma) de
:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal unitário
, primeiro derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Agora, calculamos a magnitude de
:
Simplificando mais:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, percebemos que:
Então:
Assumindo que
está em um intervalo onde
é positivo, a expressão fica:
Finalmente, o vetor normal unitário
é:
Simplificando:
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários são:
Exercícios relacionados
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.