(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva dada por . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas e entender como obter vetores unitários a partir das derivadas da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição . Para achar o vetor tangente, precisamos calcular a derivada desse vetor em relação a , que é . A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de :
Então, o vetor velocidade é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor velocidade, ou seja, . A magnitude de um vetor é dada por . Aplicando isso:

Passo 5

Com a derivada e sua magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário dividindo pela sua magnitude:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário . Primeiro, precisamos derivar em relação a , ou seja, encontrar . Isso envolve derivar cada componente de .
Vamos derivar a primeira componente:
A segunda componente será igual à primeira, já que é a mesma expressão:
E a terceira componente:
Então,

Passo 7

Agora, calculamos a magnitude de :
Simplificando,

Passo 8

Finalmente, o vetor normal unitário é dado por:
Multiplicando numerador e denominador:
Ou simplificando:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .