(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os vetores tangente unitário
e normal unitário
para a curva dada por
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas e entender como obter vetores unitários a partir das derivadas da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição
. Para achar o vetor tangente, precisamos calcular a derivada desse vetor em relação a
, que é
. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
Então, o vetor velocidade é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor velocidade, ou seja,
. A magnitude de um vetor
é dada por
. Aplicando isso:
Passo 5
Com a derivada e sua magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário
dividindo
pela sua magnitude:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário
. Primeiro, precisamos derivar
em relação a
, ou seja, encontrar
. Isso envolve derivar cada componente de
.
Vamos derivar a primeira componente:
A segunda componente será igual à primeira, já que é a mesma expressão:
E a terceira componente:
Então,
Passo 7
Agora, calculamos a magnitude de
:
Simplificando,
Passo 8
Finalmente, o vetor normal unitário
é dado por:
Multiplicando numerador e denominador:
Ou simplificando:
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários são:
Exercícios relacionados
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.