(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t). r(t) = <t, t, (1/2) t^2>

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os vetores tangente unitário T(t) e normal unitário N(t) para a curva dada por . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas e entender como obter vetores unitários a partir das derivadas da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição . Para achar o vetor tangente, precisamos calcular a derivada desse vetor em relação a t, que é . A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de r(t):
Então, o vetor velocidade é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor velocidade, ou seja, . A magnitude de um vetor é dada por . Aplicando isso:

Passo 5

Com a derivada e sua magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário T(t) dividindo pela sua magnitude:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário N(t). Primeiro, precisamos derivar T(t) em relação a t, ou seja, encontrar . Isso envolve derivar cada componente de T(t).
Vamos derivar a primeira componente:
A segunda componente será igual à primeira, já que é a mesma expressão:
E a terceira componente:
Então,

Passo 7

Agora, calculamos a magnitude de :
Simplificando,

Passo 8

Finalmente, o vetor normal unitário N(t) é dado por:
Multiplicando numerador e denominador:
Ou simplificando:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

Exercícios relacionados