(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente e normal unitários, chamados de e , para a curva dada por , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a , que nos dará o vetor velocidade . Isso representa a direção da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor tangente unitário . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Simplificando:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal unitário , precisamos derivar o vetor tangente em relação a e então normalizá-lo.
Primeiro, vamos derivar :
Agora, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor normal unitário é:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

Exercícios relacionados

(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).