(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente e normal unitários, chamados de
e
, para a curva dada por
, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
, que nos dará o vetor velocidade
. Isso representa a direção da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter o vetor tangente unitário
. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Simplificando:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal unitário
, precisamos derivar o vetor tangente
em relação a
e então normalizá-lo.
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor normal unitário é:
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários são:
Exercícios relacionados
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).