(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t). r(t) = <t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)>, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente e normal unitários, chamados de T(t) e N(t), para a curva dada por , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função r(t) em relação a t, que nos dará o vetor velocidade . Isso representa a direção da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor tangente unitário T(t). A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Simplificando:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal unitário N(t), precisamos derivar o vetor tangente T(t) em relação a t e então normalizá-lo.
Primeiro, vamos derivar T(t):
Agora, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor normal unitário é:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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