(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar os vetores tangente e normal unitários, e , da curva representada por . Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas e normalizar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor derivada , que nos dará a direção da curva em cada ponto. Derivando cada componente de :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o magnitude de , que é o comprimento do vetor derivada. Isso é feito usando a fórmula da norma:
Simplificando:

Passo 4

Com a derivada e seu magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário dividindo pelo seu magnitude:

Passo 5

Para achar o vetor normal unitário , precisamos derivar em relação a e depois normalizar. Vamos derivar cada componente de :

Passo 6

Agora, calculamos o magnitude de :

Passo 7

Finalmente, o vetor normal unitário é dado por dividido pelo seu magnitude:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.