(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar os vetores tangente e normal unitários,
e
, da curva representada por
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas e normalizar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor derivada
, que nos dará a direção da curva em cada ponto. Derivando cada componente de
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o magnitude de
, que é o comprimento do vetor derivada. Isso é feito usando a fórmula da norma:
Simplificando:
Passo 4
Com a derivada e seu magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário
dividindo
pelo seu magnitude:
Passo 5
Para achar o vetor normal unitário
, precisamos derivar
em relação a
e depois normalizar. Vamos derivar cada componente de
:
Passo 6
Agora, calculamos o magnitude de
:
Passo 7
Finalmente, o vetor normal unitário
é dado por
dividido pelo seu magnitude:
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários são:
Exercícios relacionados
(b) Calcule o mesmo comprimento usando a fórmula da distância e compare o resultado com a resposta que você forneceu no item (a).
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.