(b) Calcule as coordenadas do vetor u=(1,-1,3)F, em relação à base E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as coordenadas do vetor em relação à base . Isso significa que temos um vetor representado na base e queremos saber como ele fica na base . Para isso, vamos precisar entender como fazer a mudança de base, que envolve usar as matrizes de transição entre as bases e .

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quais são as bases e . Supondo que seja a base canônica padrão no espaço tridimensional, ou seja, onde , e . A base deve ser uma outra base qualquer, mas como não foi especificada, vamos considerar que já temos as coordenadas do vetor na base .

Passo 3

Para converter as coordenadas de [u]E = PE F cdot [u]F da base para a base , usamos a Matriz de Transição . Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor de para . A fórmula geral é:

Passo 4

Entretanto, para aplicar essa fórmula, precisamos conhecer a Matriz de Transição F = f1, f2, f3 . Essa matriz é formada pelos vetores de PE F = f1 & f2 & f3 expressos na base . Supondo que os vetores da base sejam conhecidos, por exemplo:
onde cada está expressa na base , então a Matriz de Transição fica:

Passo 5

Agora, multiplicamos a Matriz de Transição [u]E = PE F cdot 1 -1 3 pelas coordenadas do vetor na base , que são :

Passo 6

Realizando a multiplicação, obtemos as coordenadas do vetor [u]E = 1 cdot f1 - 1 cdot f2 + 3 cdot f3 na base :
Isso dá a representação de na base .

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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