(Comutadores de uma matriz) Dada a matriz , deteterminar todas as matrizes que comutam , i.e., .
12.1
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz , ou seja, que satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e multiplicação de matrizes, um tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos entender como multiplicar matrizes e descobrir quais matrizes fazem com que a ordem da multiplicação não altere o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a matriz e uma matriz genérica . A matriz é dada por:
Vamos supor que seja uma matriz qualquer:
Aqui, são números reais que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular e separadamente.
Primeiro, :
Em seguida, :
Passo 4
Para que , as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Isso significa que cada elemento correspondente deve ser igual. Então, igualamos as entradas:
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Passo 5
Analisando a primeira equação:
a + c = a implies c = 0
A segunda equação:
b + d = a + b implies d = a
A terceira equação:
c = c
Isso já está satisfeito com d = c + d implies 0 = c implies já temos c = 0 .
A quarta equação:
á
Portanto, as condições que devem ser satisfeitas são e .
Passo 6
Com esses resultados, podemos expressar a matriz B = a & b 0 & a da seguinte forma:
Aqui, e podem ser quaisquer números reais.
Resposta
Todas as matrizes B = a & b 0 & a que comutam com são da forma: