(Comutadores de uma matriz) Dada a matriz A, deteterminar todas as matrizes B que comutam com A, i.e., A B=B A.
12.1 A=[ll1 & 1 0 & 1]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz , ou seja, que satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e multiplicação de matrizes, um tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos entender como multiplicar matrizes e descobrir quais matrizes fazem com que a ordem da multiplicação não altere o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a matriz A = 1 & 1 0 & 1 e uma matriz genérica B = a & b c & d . A matriz é dada por:
Vamos supor que seja uma matriz qualquer:
Aqui, são números reais que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular AB = 1 & 1 0 & 1 a & b c & d = 1 cdot a + 1 cdot c & 1 cdot b + 1 cdot d 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d = a + c & b + d c & d e BA = a & b c & d 1 & 1 0 & 1 = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 1 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 1 + d cdot 1 = a & a + b c & c + d separadamente.
Primeiro, :
Em seguida, :

Passo 4

Para que a + c = a b + d = a + b c = c d = c + d , as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Isso significa que cada elemento correspondente deve ser igual. Então, igualamos as entradas:
Vamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 5

Analisando a primeira equação:
a + c = a implies c = 0
A segunda equação:
b + d = a + b implies d = a
A terceira equação:
c = c
Isso já está satisfeito com d = c + d implies 0 = c implies já temos c = 0 .
A quarta equação:
á
Portanto, as condições que devem ser satisfeitas são e .

Passo 6

Com esses resultados, podemos expressar a matriz B = a & b 0 & a da seguinte forma:
Aqui, e podem ser quaisquer números reais.

Resposta

Todas as matrizes B = a & b 0 & a que comutam com são da forma:
onde e são números reais quaisquer.

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(Produtos de matrizes) Considerem-se as matrizes
A=[lll 1 & 2 & 3 ] B=[r 1 -2 ] C=[rr 2 & 1 -3 & 0 1 & 2 ] D=[rr -2 & 5 5 & 0 ] E=[rrr -1 & 1 & 3 -1 & -4 & 0 0 & 2 & 5 ]
Determinar quais são os produtos possíveis; determinar quais são as matrizes quadradas; determinar quais são as matrizes simétricas.
Mostre que os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,2) e C=(1,1,1) são vértices de um triângulo retângulo e calcule sua área.
Qual a condição para que P=(x, y) seja equidistante de A=(2,3) e B=(5,-1) ? R.: 6x-8y-13=0
(b) Calcule as coordenadas do vetor u=(1,-1,3)F, em relação à base E.