(b) Calcule a integral de f(x) entre -I e 1 usando a Primeira Regra de Simpson para um número de intervalos igual a 6. Use precisão de 3 casas decimais em suas contas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de de até usando a Primeira Regra de Simpson com 6 intervalos. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre métodos numéricos para calcular integrais quando não conseguimos resolver analiticamente. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo em 6 partes iguais e aplicar a fórmula da Regra de Simpson.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo h = b - an = 1 - (-1)6 = 26 = 13 em 6 subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, que chamamos de , é calculado por:
Onde:
  • e são os limites de integração.
  • é o número de intervalos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, ldots, 6 . Esses pontos, chamados de nós, são dados por:
x0 &= -1 + 0 cdot 13 = -1 x1 &= -1 + 1 cdot 13 = -23 x2 &= -1 + 2 cdot 13 = -13 x3 &= -1 + 3 cdot 13 = 0 x4 &= -1 + 4 cdot 13 = 13 x5 &= -1 + 5 cdot 13 = 23 x6 &= -1 + 6 cdot 13 = 1
Calculando cada :

Passo 4

A Regra de Simpson para integrala^b f(x) ,dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpar i f(xi) + 2 sumpar i f(xi) + f(xn) ] intervalos (onde é par) é dada por:
í
Neste caso, , que é par, então podemos aplicar a fórmula diretamente. Vamos identificar quais são ímpares e quais são pares (excluindo e ):
  • Índices ímpares:
  • Índices pares:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula:
integral-1^1 f(x) ,dx approx 133 [ f(-1) + 4 ( f(-23) + f(0) + f(23) ) + 2 ( f(-13) + f(13) ) + f(1) ]
Simplificando:
integral-1^1 f(x) ,dx approx 19 [ f(-1) + 4(f(-23) + f(0) + f(23)) + 2(f(-13) + f(13)) + f(1) ]

Resposta

A integral de integral-1^1 f(x) ,dx approx resu de até usando a Primeira Regra de Simpson com 6 intervalos é aproximadamente:
Nota: Para obter o valor numérico final, é necessário conhecer a função . Substitua os valores de na expressão acima e calcule o resultado com a precisão solicitada.

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