(b) Calcule
no ponto dado:
(i)
;
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais
e
no ponto
para a equação
. A matéria aqui envolve derivadas parciais e diferenciação implícita, que vão nos ajudar a encontrar como
muda em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função de
e
, ou seja,
. Para encontrar
e
, vamos derivar a equação dada em relação a
e
, respectivamente, usando a diferenciação implícita.
Passo 3
Vamos derivar a equação
em relação a
. Lembrando que ao derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Derivando cada termo:
Rearranjando para isolar
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar a mesma equação em relação a
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Derivando cada termo:
Rearranjando para isolar
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores do ponto
nas expressões que encontramos para
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
No ponto
, temos: