(b) Calcule partial zpartial x e partial zpartial y no ponto dado:
(i) z^3-x y+y z+y^3-2=0, P(1,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais e no ponto para a equação . A matéria aqui envolve derivadas parciais e diferenciação implícita, que vão nos ajudar a encontrar como muda em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de e , ou seja, . Para encontrar e , vamos derivar a equação dada em relação a e , respectivamente, usando a diferenciação implícita.

Passo 3

Vamos derivar a equação partialpartial x(z^3) = 3z^2 partial zpartial x em relação a 3z^2 partial zpartial x - y + y partial zpartial x + 0 = 0 . Lembrando que ao derivar (3z^2 + y) partial zpartial x = y em relação a partial zpartial x = y3z^2 + y , usamos a regra da cadeia:
Derivando cada termo:
Rearranjando para isolar :
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a mesma equação em relação a partialpartial y(z^3) = 3z^2 partial zpartial y . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
3z^2 partial zpartial y - x + z + y partial zpartial y + 3y^2 = 0
Derivando cada termo:
(3z^2 + y) partial zpartial y = x - z - 3y^2
Rearranjando para isolar partial zpartial y = x - z - 3y^23z^2 + y :
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores do ponto partial zpartial x = y3z^2 + y = 13(1)^2 + 1 = 14 = 0,25 nas expressões que encontramos para partial zpartial y = x - z - 3y^23z^2 + y = 1 - 1 - 3(1)^23(1)^2 + 1 = -34 = -0,75 e .
Para :
Para :

Resposta

No ponto partial zpartial x = 0,25 e partial zpartial y = -0,75 , temos:

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