(b) Encontre d y / d x se y^2 - x^2 - sen(x) y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , na equação . Para resolver isso, vamos usar o diferencial implícito, que nos ajuda a encontrar derivadas quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
A ideia é derivar cada termo dessa equação em relação a , lembrando que é uma função de , então quando derivamos termos com , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação:
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é vezes a derivada de .
  1. Derivada de em relação a :
Isso é direto, só aplicamos a derivada do .
  1. Derivada de em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, já que temos multiplicando .

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas na equação:
Nosso objetivo é isolar , então vamos agrupar os termos que contêm :

Resposta

Finalmente, isolamos :
Então, a derivada de em relação a é:

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