(b) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfície e o plano .

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o volume do sólido que está entre a superfície e o plano . Isso é um exercício de cálculo em multivariáveis, usando integrais duplas. Vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares para facilitar nossos cálculos. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. A equação representa um paraboloide que abre para baixo, e o plano é o plano xy. O volume que queremos é a região abaixo do paraboloide e acima do plano xy.

Passo 3

Para calcular o volume, podemos usar uma integral dupla sobre a região no plano xy que é a projeção do sólido. A fórmula geral para o volume é:

Passo 4

Perceba que a região onde o paraboloide corta o plano é dada pela equação , ou seja, . Isso é um círculo com raio 2 no plano xy.

Passo 5

Como a região é um círculo, fica mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área vira .

Passo 6

Reescrevendo a integral em coordenadas polares, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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, sujeito a