(b) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfície
e o plano
.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular o volume do sólido que está entre a superfície
e o plano
. Isso é um exercício de cálculo em multivariáveis, usando integrais duplas. Vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares para facilitar nossos cálculos. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. A equação
representa um paraboloide que abre para baixo, e o plano
é o plano xy. O volume que queremos é a região abaixo do paraboloide e acima do plano xy.
Passo 3
Para calcular o volume, podemos usar uma integral dupla sobre a região
no plano xy que é a projeção do sólido. A fórmula geral para o volume é:
Passo 4
Perceba que a região
onde o paraboloide corta o plano
é dada pela equação
, ou seja,
. Isso é um círculo com raio 2 no plano xy.
Passo 5
Como a região
é um círculo, fica mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
.
Passo 6
Reescrevendo a integral em coordenadas polares, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a região limitada pelas retas
,
.
Calcule as integrais, para as regiões
indicadas.
, onde
é limitada por
e
.
Represente um pulso unitário começando em
com duração de 5 segundos como uma soma de funções de Heaviside.[^0]
Resolva o seguinte PVC, e depois calcule a temperatura para a posição
e
(use pelo menos 3 termos não nulos da solução em série para calcular
):
, sujeito a