Resolva o seguinte PVC, e depois calcule a temperatura para a posição e (use pelo menos 3 termos não nulos da solução em série para calcular ): , sujeito a
Passo 1
Então, temos um problema envolvendo a Equação do Calor, que é uma equação diferencial parcial usada para modelar como a temperatura distribui-se em um material ao longo do tempo. O enunciado nos pede para resolver essa equação com certas condições iniciais e de contorno e, depois, calcular a temperatura na posição e no tempo , usando pelo menos 3 termos da solução em série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação dada:
partial^2 Tpartial x^2 = partial Tpartial t
Com as condições:
T(x, 0) = 30 & para 0 <= x <= 5 T(0, t) = 20 & para t > 0 T(5, t) = 50 & para t > 0
Para resolver isso, vamos usar o método da separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Funções de Fourier.
Passo 3
Primeiro, buscamos uma solução estacionária, isto é, uma solução que não varia com o tempo. Assumimos que a solução geral pode ser escrita como:
T(x, t) = U(x, t) + Testacionária(x) á
Onde Testacionária(0) = 20 e Testacionária(5) = 50 á satisfaz a equação sem a parte que varia no tempo. Considerando as condições de contorno:
Testacionária(x) = ax + b áá
Assumindo uma solução linear:
b = 20 5a + 20 = 50 Rightarrow a = 6 á
Aplicando as condições:
Testacionária(x) = 6x + 20
Portanto:
á
Passo 4
Agora, substituímos partial^2 (U + 6x + 20)partial x^2 = partial (U + 6x + 20)partial t na equação original:
partial^2 Upartial x^2 = partial Upartial t
Como as derivadas de U(x, 0) = 10 - 6x & para 0 <= x <= 5 U(0, t) = 0 & para t > 0 U(5, t) = 0 & para t > 0 são constantes ou zero:
Então, temos uma nova equação para com condições de contorno homogêneas:
Passo 5
Vamos resolver a equação para U(x, t) = X(x) cdot T(t) usando separação de variáveis. Assumimos que X''(x)T(t) = X(x)T'(t) pode ser escrito como:
X''(x)X(x) = T'(t)T(t) = -lambda
Substituindo na equação:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Dividindo ambos os lados por T'(t) + lambda T(t) = 0 :
Xn(x) = sin(npi x5)
Onde lambdan = (npi5)^2 é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações:
Tn(t) = e^-lambdan t = e^-(npi5)^2 t
Com as condições de contorno e , as soluções são funções senoidais:
E as soluções temporais:
Passo 6
A solução geral para U(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x5) e^-(npi5)^2 t é uma soma de todas as soluções separadas:
10 - 6x = sumn=1^infty Bn sin(npi x5)
Para encontrar os coeficientes Bn = 25 integral0^5 (10 - 6x) sin(npi x5) dx , usamos a condição inicial :
Calculamos através da série de Fourier:
Passo 7
Após calcular os coeficientes T(x, t) = 6x + 20 + sumn=1^infty Bn sin(npi x5) e^-(npi5)^2 t , a solução completa para a temperatura é:
Para calcular , usamos os três primeiros termos da série:
Calculando os valores numéricos:
Calcular através das integrais.
Substituir os valores de e realizar os cálculos.
Resposta
Após realizar os cálculos com os três primeiros termos da série, a temperatura na posição e no tempo é aproximadamente 32°C (valor exato dependerá dos coeficientes calculados).