Resolva o seguinte PVC, e depois calcule a temperatura para a posição e (use pelo menos 3 termos não nulos da solução em série para calcular ):
, sujeito a

Passo 1

Então, temos um problema envolvendo a Equação do Calor, que é uma equação diferencial parcial usada para modelar como a temperatura distribui-se em um material ao longo do tempo. O enunciado nos pede para resolver essa equação com certas condições iniciais e de contorno e, depois, calcular a temperatura na posição e no tempo , usando pelo menos 3 termos da solução em série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação dada:
Com as condições:
Para resolver isso, vamos usar o método da separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Funções de Fourier.

Passo 3

Primeiro, buscamos uma solução estacionária, isto é, uma solução que não varia com o tempo. Assumimos que a solução geral pode ser escrita como:
á
Onde á satisfaz a equação sem a parte que varia no tempo. Considerando as condições de contorno:
áá
Assumindo uma solução linear:
á
Aplicando as condições:
Portanto:
á

Passo 4

Agora, substituímos na equação original:
Como as derivadas de são constantes ou zero:
Então, temos uma nova equação para com condições de contorno homogêneas:

Passo 5

Vamos resolver a equação para usando separação de variáveis. Assumimos que pode ser escrito como:
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações:
Com as condições de contorno e , as soluções são funções senoidais:
E as soluções temporais:

Passo 6

A solução geral para é uma soma de todas as soluções separadas:
Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Calculamos através da série de Fourier:

Passo 7

Após calcular os coeficientes , a solução completa para a temperatura é:
Para calcular , usamos os três primeiros termos da série:
Calculando os valores numéricos:
  1. Calcular através das integrais.
  2. Substituir os valores de e realizar os cálculos.

Resposta

Após realizar os cálculos com os três primeiros termos da série, a temperatura na posição e no tempo é aproximadamente 32°C (valor exato dependerá dos coeficientes calculados).

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