Calcule , onde é a região limitada pelas retas , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pede. A gente precisa calcular:
Onde é a região limitada pelas retas , , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis, especificamente definindo novas variáveis e para simplificar a integral. Também vamos precisar calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a área de integração e a função que estamos integrando. Vamos definir:
Essas escolhas são estratégicas porque as equações que delimitam a região ficam muito mais simples com essas novas variáveis. Agora, precisamos expressar e em termos de e .
Passo 3
Vamos resolver as equações para encontrar e em função de e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Agora temos e em termos de e .
Passo 4
Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
J = ( 14 times 12 ) - ( -14 times 12 ) = 18 + 18 = 14
Então,
Passo 5
Agora, vamos transformar a região 0 <= y + 2x <= 4 Rightarrow 0 <= u <= 4 0 <= y - 2x <= 3 Rightarrow 0 <= v <= 3 para as novas variáveis e . As restrições originais são:
Portanto, na nova coordenada, a região é um retângulo com variando de 0 a 4 e de 0 a 3.
Passo 6
Vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaD y + 2xraizy - 2x + 1 , dA = integral duplaR uraizv + 1 times |J| , du , dv e = 14 integral0^4 integral0^3 uraizv + 1 , dv , du :