Calcule integral duplaD y+2 xraizy-2 x+1 d A, onde D é a região limitada pelas retas y+2 x=0, y+2 x=4, y-2 x=0, y-2 x=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pede. A gente precisa calcular:
integral duplaD y + 2xraizy - 2x + 1 , dA
Onde é a região limitada pelas retas , , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis, especificamente definindo novas variáveis e para simplificar a integral. Também vamos precisar calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a área de integração e a função que estamos integrando. Vamos definir:
u = y + 2x v = y - 2x
Essas escolhas são estratégicas porque as equações que delimitam a região ficam muito mais simples com essas novas variáveis. Agora, precisamos expressar e em termos de e .

Passo 3

Vamos resolver as equações para encontrar u = y + 2x v = y - 2x e u + v = 2y Rightarrow y = u + v2 em função de u - v = 4x Rightarrow x = u - v4 e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Agora temos e em termos de e .

Passo 4

Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
partial xpartial u = 14, partial xpartial v = -14 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
Calculando as derivadas parciais:
J = ( 14 times 12 ) - ( -14 times 12 ) = 18 + 18 = 14
Então,

Passo 5

Agora, vamos transformar a região 0 <= y + 2x <= 4 Rightarrow 0 <= u <= 4 0 <= y - 2x <= 3 Rightarrow 0 <= v <= 3 para as novas variáveis e . As restrições originais são:
Portanto, na nova coordenada, a região é um retângulo com variando de 0 a 4 e de 0 a 3.

Passo 6

Vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaD y + 2xraizy - 2x + 1 , dA = integral duplaR uraizv + 1 times |J| , du , dv e = 14 integral0^4 integral0^3 uraizv + 1 , dv , du :
integral0^3 1raizv + 1 , dv
Substituindo integral1^4 t^-1/2 , dt = 2 t^1/2 |1^4 = 2 (raiz4 - raiz1) = 2 (2 - 1) = 2 :
14 integral0^4 u times 2 , du = 12 integral0^4 u , du
Primeiro, vamos integrar em relação a 12 [ u^22 ]0^4 = 12 ( 162 - 0 ) = 12 times 8 = 4 :
Fazendo a substituição , :
Agora, substituindo de volta:
Integrando de 0 a 4:

Resposta

O valor da integral dupla é 4.

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