Calcule , onde é a região limitada pelas retas , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pede. A gente precisa calcular:
Onde é a região limitada pelas retas , , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis, especificamente definindo novas variáveis e para simplificar a integral. Também vamos precisar calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a área de integração e a função que estamos integrando. Vamos definir:
Essas escolhas são estratégicas porque as equações que delimitam a região ficam muito mais simples com essas novas variáveis. Agora, precisamos expressar e em termos de e .
Passo 3
Vamos resolver as equações para encontrar e em função de e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Agora temos e em termos de e .
Passo 4
Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, vamos transformar a região para as novas variáveis e . As restrições originais são:
Portanto, na nova coordenada, a região é um retângulo com variando de 0 a 4 e de 0 a 3.
Passo 6
Vamos reescrever a integral original em termos de e :