Calcule , onde é a região limitada pelas retas , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pede. A gente precisa calcular:
Onde é a região limitada pelas retas , , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis, especificamente definindo novas variáveis e para simplificar a integral. Também vamos precisar calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a área de integração e a função que estamos integrando. Vamos definir:
Essas escolhas são estratégicas porque as equações que delimitam a região ficam muito mais simples com essas novas variáveis. Agora, precisamos expressar e em termos de e .

Passo 3

Vamos resolver as equações para encontrar e em função de e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Agora temos e em termos de e .

Passo 4

Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 5

Agora, vamos transformar a região para as novas variáveis e . As restrições originais são:
Portanto, na nova coordenada, a região é um retângulo com variando de 0 a 4 e de 0 a 3.

Passo 6

Vamos reescrever a integral original em termos de e :
Substituindo :
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Fazendo a substituição , :
Agora, substituindo de volta:
Integrando de 0 a 4:

Resposta

O valor da integral dupla é 4.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.

.
(b) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfície e o plano .
Represente um pulso unitário começando em com duração de 5 segundos como uma soma de funções de Heaviside.[^0]