Calcule as integrais, para as regiões
indicadas.
, onde
é limitada por
e
.
Passo 1
Aqui, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
onde a região
é limitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e a determinação dos limites de integração com base nas curvas que delimitam a região
.
Passo 2
Primeiramente, vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região
.
-
Curva
: Esta é uma função em forma de “V” invertido que intercepta o eixo em e desce com inclinação negativa para e positiva para . -
Curva
: Esta é uma parábola voltada para cima com vértice no ponto .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Rearranjando:
Agora, resolvemos considerando os casos
e
.
-
Para
:
, então: Resolvendo a equação quadrática:As soluções sãoe . Como , consideramos . -
Para
:
, então: Resolvendo a equação quadrática:As soluções sãoe . Como , consideramos .
Portanto, os pontos de interseção estão em
e
.
Passo 4
Agora, sabemos que
varia de
a
. Para cada valor de
neste intervalo,
varia de
até
.
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
A integral de
é
, então:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral em relação a
:
Observamos que a função integranda é par (simétrica em relação ao eixo
), então podemos simplificar multiplicando a integral de
a
por
:
Passo 7
Vamos expandir as expressões dentro dos colchetes:
Substituindo:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 10
Avaliando nos limites
e
:
- Para
: - Para
:
Todos os termos são zero.
Portanto, o valor da integral é aproximadamente
. Convertendo para fração exata:
Resposta
A integral dupla avaliada é
.
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Calcular as seguintes integrais:
.
Calcule
, onde
é a região limitada pelas retas
,
.
(b) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfície
e o plano
.