Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .

Passo 1

Aqui, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
onde a região é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e a determinação dos limites de integração com base nas curvas que delimitam a região .

Passo 2

Primeiramente, vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região .
  • Curva : Esta é uma função em forma de “V” invertido que intercepta o eixo em e desce com inclinação negativa para e positiva para .
  • Curva : Esta é uma parábola voltada para cima com vértice no ponto .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Rearranjando:
Agora, resolvemos considerando os casos e .
  • Para :
    , então:
    Resolvendo a equação quadrática:
    As soluções são e . Como , consideramos .
  • Para :
    , então:
    Resolvendo a equação quadrática:
    As soluções são e . Como , consideramos .
Portanto, os pontos de interseção estão em e .

Passo 4

Agora, sabemos que varia de a . Para cada valor de neste intervalo, varia de até .
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
A integral de é , então:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral em relação a :
Observamos que a função integranda é par (simétrica em relação ao eixo ), então podemos simplificar multiplicando a integral de a por :

Passo 7

Vamos expandir as expressões dentro dos colchetes:
Substituindo:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:
Portanto, a integral se torna:

Passo 10

Avaliando nos limites e :
  • Para :
  • Para :
    Todos os termos são zero.
Portanto, o valor da integral é aproximadamente . Convertendo para fração exata:

Resposta

A integral dupla avaliada é .

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Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.

.
Calcular as seguintes integrais:
.
Calcule , onde é a região limitada pelas retas , .
(b) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfície e o plano .