Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.
integral duplaD y x^2 d A, onde D é limitada por y=1-|x| e y=x^2-1.

Passo 1

Aqui, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
integral duplaD y x^2 , dA
onde a região é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e a determinação dos limites de integração com base nas curvas que delimitam a região .

Passo 2

Primeiramente, vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região .
  • Curva : Esta é uma função em forma de “V” invertido que intercepta o eixo em e desce com inclinação negativa para e positiva para .
  • Curva : Esta é uma parábola voltada para cima com vértice no ponto .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
1 - |x| = x^2 - 1
Rearranjando:
x^2 + |x| - 2 = 0
Agora, resolvemos considerando os casos x^2 + x - 2 = 0 e x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32 .
  • Para x^2 - x - 2 = 0 :
    x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 , então:
    Resolvendo a equação quadrática:
    As soluções são e . Como , consideramos .
  • Para :
    , então:
    Resolvendo a equação quadrática:
    As soluções são e . Como , consideramos .
Portanto, os pontos de interseção estão em e .

Passo 4

Agora, sabemos que integral-1^1 integralx^2 - 1^1 - |x| y x^2 , dy , dx varia de a . Para cada valor de neste intervalo, varia de até .
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx^2 - 1^1 - |x| y x^2 , dy = x^2 integralx^2 - 1^1 - |x| y , dy primeiro:
x^2 [ (1 - |x|)^22 - (x^2 - 1)^22 ] = x^22 [ (1 - |x|)^2 - (x^2 - 1)^2 ]
A integral de é , então:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral em relação a 12 integral-1^1 x^2 [ (1 - |x|)^2 - (x^2 - 1)^2 ] , dx :
integral0^1 x^2 [ (1 - x)^2 - (x^2 - 1)^2 ] , dx
Observamos que a função integranda é par (simétrica em relação ao eixo ), então podemos simplificar multiplicando a integral de a por :

Passo 7

Vamos expandir as expressões dentro dos colchetes:
  • (1 - x)^2 - (x^2 - 1)^2 = (1 - 2x + x^2) - (1 - 2x^2 + x^4) = -2x + 3x^2 - x^4
Substituindo:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
integral0^1 x^2 (-2x + 3x^2 - x^4) , dx = integral0^1 (-2x^3 + 3x^4 - x^6) , dx

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:
integral -2x^3 , dx = -2x^44 = -x^42
integral 3x^4 , dx = 3x^55
integral -x^6 , dx = -x^77
Portanto, a integral se torna:
[ -x^42 + 3x^55 - x^77 ]0^1

Passo 10

Avaliando nos limites -12 + 35 - 17 = -0,5 + 0,6 - 0,142857 approx -0,042857 e - ( 12 - 35 + 17 ) = -370 :
  • Para :
  • Para :
    Todos os termos são zero.
Portanto, o valor da integral é aproximadamente . Convertendo para fração exata:

Resposta

A integral dupla avaliada é .

Exercícios relacionados