b) Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo e é dito irrotacional se seu rotacional for nulo. Mostre que se u é irrotacional e r = x i + y j + z k, então u x r é solenoidal.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois conceitos importantes aqui: campo solenoidal (que tem divergente igual a zero) e campo irrotacional (que tem rotacional igual a zero). O exercício quer que a gente mostre que, se tivermos um campo vetorial que é irrotacional e o vetor posição , então o produto vetorial é solenoidal. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de divergentes e rotacionais, além de algumas regras de produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de divergente de um produto vetorial. Existe uma fórmula que relaciona o divergente do produto vetorial de dois vetores e :
Essa fórmula vai ser essencial para a gente calcular o divergente de .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso, onde e . Então temos:
Agora, precisamos avaliar cada termo dessa expressão.

Passo 4

Sabemos que é irrotacional, ou seja, . Além disso, é o vetor posição, cujo rotacional é sempre zero:
Portanto, substituindo esses valores na nossa expressão anterior:

Resposta

Como o divergente de é igual a zero, concluímos que é um campo vetorial solenoidal.

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