b) Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo e é dito irrotacional se seu rotacional for nulo. Mostre que se
é irrotacional e
, então
é solenoidal.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois conceitos importantes aqui: campo solenoidal (que tem divergente igual a zero) e campo irrotacional (que tem rotacional igual a zero). O exercício quer que a gente mostre que, se tivermos um campo vetorial
que é irrotacional e o vetor posição
, então o produto vetorial
é solenoidal. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de divergentes e rotacionais, além de algumas regras de produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de divergente de um produto vetorial. Existe uma fórmula que relaciona o divergente do produto vetorial de dois vetores
e
:
Essa fórmula vai ser essencial para a gente calcular o divergente de
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso, onde
e
. Então temos:
Agora, precisamos avaliar cada termo dessa expressão.
Passo 4
Sabemos que
é irrotacional, ou seja,
. Além disso,
é o vetor posição, cujo rotacional é sempre zero:
Portanto, substituindo esses valores na nossa expressão anterior:
Resposta
Como o divergente de
é igual a zero, concluímos que
é um campo vetorial solenoidal.
Exercícios relacionados
a) Sejam u e
campos vetoriais em
. Mostre que:
Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de e
.
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de
Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
©Encontre a matriz Jacobiana por cálculo direto das derivadas parciais.
©Encontre a matriz Jacobiana
Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização
será dada por
onde
, y e
são medido em metros. Ele está atualmente em
.
a) Em que direção deve mover a fim de diminuir a temperatura mais rapidamente?
a) Em que direção deve mover a fim de diminuir a temperatura mais rapidamente?