Considere as funções e . Faça o seguinte:
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as matrizes Jacobianas das funções e . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e matrizes Jacobianas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente das funções em relação a e e organizar tudo numa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz Jacobiana. Para uma função , a matriz Jacobiana é uma matriz formada pelas derivadas parciais de e em relação a e :

Passo 3

Vamos começar com a função .
Passo 3.1: Calcular as derivadas parciais de .
Passo 3.2: Calcular as derivadas parciais de .

Passo 4

Agora, organizamos essas derivadas na matriz Jacobiana de :

Passo 5

Vamos agora para a função .
Passo 5.1: Calcular as derivadas parciais de .
Passo 5.2: Calcular as derivadas parciais de .

Passo 6

Organizamos agora essas derivadas na matriz Jacobiana de :

Resposta

As matrizes Jacobianas são:

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Calcule as integrais trocando a ordem de integração:
Considere as funções e . Faça o seguinte:
(b)Escreva explicitamente a composta ( ).
a) Sejam u e campos vetoriais em . Mostre que:
b) Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo e é dito irrotacional se seu rotacional for nulo. Mostre que se é irrotacional e , então é solenoidal.