Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de
e
.
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as matrizes Jacobianas das funções
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e matrizes Jacobianas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente das funções em relação a
e
e organizar tudo numa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz Jacobiana. Para uma função
, a matriz Jacobiana é uma matriz
formada pelas derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 3
Vamos começar com a função
.
Passo 3.1: Calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3.2: Calcular as derivadas parciais de
.
Passo 4
Agora, organizamos essas derivadas na matriz Jacobiana de
:
Passo 5
Vamos agora para a função
.
Passo 5.1: Calcular as derivadas parciais de
.
Passo 5.2: Calcular as derivadas parciais de
.
Passo 6
Organizamos agora essas derivadas na matriz Jacobiana de
:
Resposta
As matrizes Jacobianas são:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais trocando a ordem de integração:
Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
(b)Escreva explicitamente a composta ( ).
(b)Escreva explicitamente a composta (
a) Sejam u e
campos vetoriais em
. Mostre que:
b) Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo e é dito irrotacional se seu rotacional for nulo. Mostre que se
é irrotacional e
, então
é solenoidal.