Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
a) Em que direção deve mover a fim de diminuir a temperatura mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma espaçonave na superfície de Mercúrio, e a temperatura do casco dela depende das coordenadas . A função que descreve essa temperatura é:
O objetivo é descobrir em que direção a espaçonave deve se mover para diminuir a temperatura mais rapidamente. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo multivariável, mais especificamente sobre gradientes e direções de máxima variação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde a espaçonave está atualmente, que é :
Então, o gradiente no ponto (1, 1, 1) é:
Passo 5
O gradiente indica a direção de máximo aumento da temperatura. Como queremos diminuir a temperatura o mais rapidamente possível, devemos nos mover na direção oposta ao gradiente. Ou seja, a direção que queremos é:
Passo 6
Mas, para termos uma direção padrão, geralmente usamos vetores unitários, que têm comprimento 1. Vamos normalizar o vetor que encontramos.
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor:
Agora, dividimos cada componente pelo comprimento para obter o vetor unitário:
Resposta
A espaçonave deve se mover na direção do vetor unitário para diminuir a temperatura mais rapidamente.