Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização (x, y, z) será dada por
T(x, y, z) = e^(10 - x^2 - 2y^2 - 2z^2)
onde x, y e z são medido em metros. Ele está atualmente em (1, 1, 1).
a) Em que direção deve mover a fim de diminuir a temperatura mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma espaçonave na superfície de Mercúrio, e a temperatura do casco dela depende das coordenadas (x, y, z). A função que descreve essa temperatura é:
O objetivo é descobrir em que direção a espaçonave deve se mover para diminuir a temperatura mais rapidamente. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo multivariável, mais especificamente sobre gradientes e direções de máxima variação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x:
  1. Derivada parcial em relação a y:
  1. Derivada parcial em relação a z:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde a espaçonave está atualmente, que é :
Então, o gradiente no ponto (1, 1, 1) é:

Passo 5

O gradiente indica a direção de máximo aumento da temperatura. Como queremos diminuir a temperatura o mais rapidamente possível, devemos nos mover na direção oposta ao gradiente. Ou seja, a direção que queremos é:

Passo 6

Mas, para termos uma direção padrão, geralmente usamos vetores unitários, que têm comprimento 1. Vamos normalizar o vetor que encontramos.
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor:
Agora, dividimos cada componente pelo comprimento para obter o vetor unitário:

Resposta

A espaçonave deve se mover na direção do vetor unitário para diminuir a temperatura mais rapidamente.

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