Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
©Encontre a matriz Jacobiana
por cálculo direto das derivadas parciais.
©Encontre a matriz Jacobiana
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções
e
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz Jacobiana da composição dessas funções, ou seja,
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das componentes da função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a composição
. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função
primeiro e depois a função
no resultado de
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando
, temos:
Então, se chamarmos o resultado de
de
, onde:
Passo 4
Agora, aplicamos
:
Substituindo
e
pelos valores que encontramos:
Simplificando, fica:
Passo 5
Agora que temos a função composta
, vamos encontrar a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. Para
, que tem duas componentes, a matriz será 2x2.
Passo 6
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Primeira componente
: - Derivada em relação a
: - Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
-
Segunda componente
: - Derivada em relação a
: - Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
Passo 7
Agora, organizamos todas essas derivadas na matriz Jacobiana:
Resposta
A matriz Jacobiana de
é:
Exercícios relacionados
b) Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo e é dito irrotacional se seu rotacional for nulo. Mostre que se
é irrotacional e
, então
é solenoidal.
a) Sejam u e
campos vetoriais em
. Mostre que:
Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização
será dada por
onde
, y e
são medido em metros. Ele está atualmente em
.
a) Em que direção deve mover a fim de diminuir a temperatura mais rapidamente?
a) Em que direção deve mover a fim de diminuir a temperatura mais rapidamente?
Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
(d)Verifique a validade da regra da cadeia obtendo a matriz Jacobianas de a partir das matrizes obtidas em (a).
(d)Verifique a validade da regra da cadeia obtendo a matriz Jacobianas de