Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
©Encontre a matriz Jacobiana
por cálculo direto das derivadas parciais.
©Encontre a matriz Jacobiana
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções
e
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz Jacobiana da composição dessas funções, ou seja,
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das componentes da função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a composição
. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função
primeiro e depois a função
no resultado de
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando
, temos:
Então, se chamarmos o resultado de
de
, onde:
Passo 4
Agora, aplicamos
:
Substituindo
e
pelos valores que encontramos:
Simplificando, fica:
Passo 5
Agora que temos a função composta
, vamos encontrar a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. Para
, que tem duas componentes, a matriz será 2x2.
Passo 6
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Primeira componente
: - Derivada em relação a
: - Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
-
Segunda componente
: - Derivada em relação a
: - Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
Passo 7
Agora, organizamos todas essas derivadas na matriz Jacobiana:
Resposta
A matriz Jacobiana de
é: