Considere as funções e . Faça o seguinte:
©Encontre a matriz Jacobiana por cálculo direto das derivadas parciais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz Jacobiana da composição dessas funções, ou seja, . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das componentes da função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a composição . Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função primeiro e depois a função no resultado de . Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando , temos:
Então, se chamarmos o resultado de de , onde:

Passo 4

Agora, aplicamos :
Substituindo e pelos valores que encontramos:
Simplificando, fica:

Passo 5

Agora que temos a função composta , vamos encontrar a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. Para , que tem duas componentes, a matriz será 2x2.

Passo 6

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Primeira componente :
    • Derivada em relação a :
    • Derivada em relação a :
  2. Segunda componente :
    • Derivada em relação a :
    • Derivada em relação a :

Passo 7

Agora, organizamos todas essas derivadas na matriz Jacobiana:

Resposta

A matriz Jacobiana de é:

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