a) Sejam u e campos vetoriais em . Mostre que:

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício que pede para mostrar uma identidade envolvendo campos vetoriais em três dimensões. Aqui, vamos trabalhar com os conceitos de divergente (que mede como um campo “espalha” em um ponto) e rotacional (que mede a “giro” do campo). Nosso objetivo é provar que:
Para isso, vamos precisar usar propriedades dos operadores vetoriais e entender bem o que cada termo representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial entre dois vetores. Se temos dois campos vetoriais e , o produto cruzado é dado por:
Agora, o divergente de um campo vetorial é:
Vamos aplicar isso ao nosso produto cruzado .

Passo 3

Vamos calcular usando a definição do divergente:
Vamos expandir cada derivada parcial:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar os que contêm derivadas de e de separadamente:

Passo 5

Vamos notar que as expressões:
e
Entretanto, para nossa identidade, estamos mais interessados nas expressões envolvendo o rotacional.

Passo 6

Lembrando que o rotacional de um campo vetorial é dado por:
E similarmente para . Vamos usar isso para reescrever os termos que temos.

Passo 7

Vamos reescrever a expressão com os rotacionais:
Isso porque os termos que multiplicam correspondem ao rotacional de , e os que multiplicam correspondem ao rotacional de , levando em conta os sinais negativos.

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Considere as funções e . Faça o seguinte:
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de e .
Calcule as integrais trocando a ordem de integração:
b) Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo e é dito irrotacional se seu rotacional for nulo. Mostre que se é irrotacional e , então é solenoidal.
Considere as funções e . Faça o seguinte:
©Encontre a matriz Jacobiana por cálculo direto das derivadas parciais.