Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que
. Isso está relacionado à teoria dos conjuntos, especificamente às operações de diferença, interseção e união. Vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz para provar essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A diferença de conjuntos, representada por “-”, pega todos os elementos que estão em
mas não estão no outro conjunto. Já
é a interseção de
e
, ou seja, contém todos os elementos que estão nos dois conjuntos
e
.
Então,
significa todos os elementos que estão em
exceto aqueles que estão tanto em
como em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o outro lado da igualdade:
. Aqui temos duas diferenças:
-
: todos os elementos que estão em mas não estão em . -
: todos os elementos que estão em mas não estão em .
A união
desses dois conjuntos vai juntar todos os elementos que estão em qualquer um dos dois conjuntos resultantes. Ou seja, vai incluir elementos que estão em
mas não em
, ou em
mas não em
.
Passo 4
Para provar que
, vamos mostrar que qualquer elemento que está em um lado está no outro e vice-versa.
-
Se um elemento está em
: Isso quer dizer que está em e não está em ambos e simultaneamente. Então, ou não está em ou não está em . Portanto, ele estará em ou em , ou seja, em . -
Se um elemento está em
: Isso significa que ele está em e não está em , ou está em e não está em . Em qualquer caso, ele não pode estar em ambos e ao mesmo tempo, então ele estará em .
Como mostramos que os elementos de um lado estão no outro e vice-versa, a igualdade é verdadeira.
Resposta
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