Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que . Isso está relacionado à teoria dos conjuntos, especificamente às operações de diferença, interseção e união. Vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz para provar essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A diferença de conjuntos, representada por “-”, pega todos os elementos que estão em mas não estão no outro conjunto. Já é a interseção de e , ou seja, contém todos os elementos que estão nos dois conjuntos e .
Então, significa todos os elementos que estão em exceto aqueles que estão tanto em como em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o outro lado da igualdade: . Aqui temos duas diferenças:
  1. : todos os elementos que estão em mas não estão em .
  2. : todos os elementos que estão em mas não estão em .
A união desses dois conjuntos vai juntar todos os elementos que estão em qualquer um dos dois conjuntos resultantes. Ou seja, vai incluir elementos que estão em mas não em , ou em mas não em .

Passo 4

Para provar que , vamos mostrar que qualquer elemento que está em um lado está no outro e vice-versa.
  • Se um elemento está em : Isso quer dizer que está em e não está em ambos e simultaneamente. Então, ou não está em ou não está em . Portanto, ele estará em ou em , ou seja, em .
  • Se um elemento está em : Isso significa que ele está em e não está em , ou está em e não está em . Em qualquer caso, ele não pode estar em ambos e ao mesmo tempo, então ele estará em .
Como mostramos que os elementos de um lado estão no outro e vice-versa, a igualdade é verdadeira.

Resposta

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