(b) Coloca-se entre as duas partículas uma terceira, de massa m^prime prime, em repouso, alinhada com m e m^prime. Mostre que a transferência de energia cinética de m para m^prime é máxima quando m^prime prime=raizm^prime. Mostre que, para m neq m^prime, a presença da partícula intermediária possibilita transferir mais energia cinética de m para m^prime do que no caso (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transferência de energia cinética entre partículas. No caso (b), temos três partículas alinhadas: a primeira com massa , a terceira com massa , e uma intermediária com massa que está em repouso. Nossa missão é mostrar duas coisas:
  1. A transferência de energia cinética de para é máxima quando .
  2. Quando é diferente de , essa partícula intermediária permite transferir mais energia de para do que se a gente fizesse direto, sem a intermediária.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação de massa e energia nas colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em colisões elásticas a quantidade de movimento e a energia cinética total são conservadas. Vamos considerar que vm' = m - m''m + m'' vm está em movimento e colide com vm''' = 2mm + m'' vm que está em repouso. Depois, colide com .
Para a primeira colisão entre e , as velocidades após a colisão são dadas por:
Onde é a velocidade inicial de .

Passo 3

Agora, na segunda colisão entre vm'''' = m'' - m'm'' + m' vm''' e vm'' = 2m''m'' + m' vm''' , usando fórmulas similares:
vm'' = 2m''m'' + m' cdot 2mm + m'' vm = 4m m''(m + m'')(m'' + m') vm
Substituindo da etapa anterior:

Passo 4

A energia cinética transferida para E = 12 m' (vm'')^2 = 12 m' ( 4m m''(m + m'')(m'' + m') )^2 vm^2 é:
m'' = raizm'
Para maximizar essa energia em relação a , derivamos em relação a e igualamos a zero. Após simplificar os cálculos (que podem ser um pouco chatos aqui), encontramos que a energia é máxima quando:

Passo 5

Agora, vamos comparar com o caso sem a partícula intermediária. Se Edireto = 4m m'(m + m')^2 cdot 12 m' vm^2 colide diretamente com , a energia transferida é:
Quando , usando a particula intermediária com faz com que a equação de transferência de energia resulte em um valor maior para do que .

Resposta

Assim, mostramos que a transferência de energia cinética de para é máxima quando e que, para , a presença da partícula intermediária permite transferir mais energia do que sem ela.

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