(b) Qual a conexão entre a integral definida integrala^b f(x) d x e a integral indefinida integral f(x) d x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre a conexão entre a integral definida integrala^b f(x) , dx e a integral indefinida integral f(x) , dx. A gente está falando de Cálculo Integral, especificamente sobre como essas duas integrais estão relacionadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada tipo de integral representa e como a Teorema Fundamental do Cálculo faz essa ligação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral indefinida. Quando temos integral f(x) , dx, estamos procurando uma antiderivada da função f(x). Ou seja, queremos encontrar uma função F(x) tal que F'(x) = f(x). A integral indefinida representa, portanto, uma família de funções que diferem por uma constante.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma integral definida. A notação integrala^b f(x) , dx representa a área sob a curva de f(x) entre os pontos a e b. Para calcular essa área, a gente pode usar a antiderivada F(x) que encontramos na integral indefinida.

Passo 4

Aqui entra o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta as integrais definidas e indefinidas. Ele tem duas partes, mas a que nos interessa aqui diz o seguinte:
Se F(x) é uma antiderivada de f(x), então:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Isso significa que para calcular a integral definida, basta encontrar a antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos limites b e a, depois subtrair os resultados.

Passo 5

Vamos resumir a conexão:
  1. Integral Indefinida ( integral f(x) , dx): Encontrar uma antiderivada F(x) de f(x).
  2. Integral Definida ( integrala^b f(x) , dx): Usar a antiderivada F(x) para calcular F(b) - F(a), que dá a área sob a curva de f(x) entre a e b.

Resposta

A integral definida integrala^b f(x) , dx está conectada à integral indefinida integral f(x) , dx através do Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, encontramos uma antiderivada F(x) com a integral indefinida, e depois usamos essa antiderivada para calcular a integral definida pela diferença F(b) - F(a).

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