(b) Qual a conexão entre a integral definida
e a integral indefinida
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre a conexão entre a integral definida
e a integral indefinida
. A gente está falando de Cálculo Integral, especificamente sobre como essas duas integrais estão relacionadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada tipo de integral representa e como a Teorema Fundamental do Cálculo faz essa ligação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral indefinida. Quando temos
, estamos procurando uma antiderivada da função
. Ou seja, queremos encontrar uma função
tal que
. A integral indefinida representa, portanto, uma família de funções que diferem por uma constante.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma integral definida. A notação
representa a área sob a curva de
entre os pontos
e
. Para calcular essa área, a gente pode usar a antiderivada
que encontramos na integral indefinida.
Passo 4
Aqui entra o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta as integrais definidas e indefinidas. Ele tem duas partes, mas a que nos interessa aqui diz o seguinte:
Se
é uma antiderivada de
, então:
Isso significa que para calcular a integral definida, basta encontrar a antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos limites
e
, depois subtrair os resultados.
Passo 5
Vamos resumir a conexão:
- Integral Indefinida (
): Encontrar uma antiderivada de . - Integral Definida (
): Usar a antiderivada para calcular , que dá a área sob a curva de entre e .
Resposta
A integral definida
está conectada à integral indefinida
através do Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, encontramos uma antiderivada
com a integral indefinida, e depois usamos essa antiderivada para calcular a integral definida pela diferença
.
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.
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