Dada a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y=integral0^1 / 2 integral2 y^1 f(x, y) d x d y.
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma integral dupla que integra a função sobre uma região . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa região D. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração fornecidos e como eles delimitam .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites da integral:
integral duplaD f(x, y) , dx , dy = integral0^12 integral2y^1 f(x, y) , dx , dy
Aqui, varia de até , e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos traduzir isso para o gráfico:
  1. Limites de : . Isso significa que estamos considerando valores de que vão do ponto onde até .
  2. Limites de : Para cada nesse intervalo, varia de até . A equação é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.

Passo 4

Agora, vamos desenhar isso:
  • Desenhe o eixo de a .
  • Desenhe a reta . Quando , ; quando , .
  • Desenhe a linha vertical , que é o limite superior para .
  • A região é a área entre a reta e a linha vertical , para entre e .

Resposta

A região de integração é um trapézio limitado por , , a reta e a linha vertical . Ela fica no primeiro quadrante, indo da origem até na reta , e se estendendo verticalmente até .

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