Dada a integral dupla .
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma integral dupla que integra a função sobre uma região . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa região D. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração fornecidos e como eles delimitam .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites da integral:
Aqui, varia de até , e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos traduzir isso para o gráfico:
  1. Limites de : . Isso significa que estamos considerando valores de que vão do ponto onde até .
  2. Limites de : Para cada nesse intervalo, varia de até . A equação é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.

Passo 4

Agora, vamos desenhar isso:
  • Desenhe o eixo de a .
  • Desenhe a reta . Quando , ; quando , .
  • Desenhe a linha vertical , que é o limite superior para .
  • A região é a área entre a reta e a linha vertical , para entre e .

Resposta

A região de integração é um trapézio limitado por , , a reta e a linha vertical . Ela fica no primeiro quadrante, indo da origem até na reta , e se estendendo verticalmente até .

Exercícios relacionados

Enuncie a Regra da Substituição. Na prática, como fazer uso dela?
(b) Qual a conexão entre a integral definida e a integral indefinida ?
Dada a integral dupla .
(b) Inverta a ordem de integração;
Use a mudança de coordenadas e e calcule a integral dupla
sobre a região do plano delimitada pelas retas e .