Dada a integral dupla
.
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma integral dupla que integra a função
sobre uma região
. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa região D. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração fornecidos e como eles delimitam
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites da integral:
Aqui,
varia de
até
, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos traduzir isso para o gráfico:
-
Limites de
: . Isso significa que estamos considerando valores de que vão do ponto onde até . -
Limites de
: Para cada nesse intervalo, varia de até . A equação é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
Passo 4
Agora, vamos desenhar isso:
- Desenhe o eixo
de a . - Desenhe a reta
. Quando , ; quando , . - Desenhe a linha vertical
, que é o limite superior para . - A região
é a área entre a reta e a linha vertical , para entre e .
Resposta
A região de integração
é um trapézio limitado por
,
, a reta
e a linha vertical
. Ela fica no primeiro quadrante, indo da origem até
na reta
, e se estendendo verticalmente até
.
Exercícios relacionados
Enuncie a Regra da Substituição. Na prática, como fazer uso dela?
(b) Qual a conexão entre a integral definida
e a integral indefinida
?
Dada a integral dupla
.
(b) Inverta a ordem de integração;
(b) Inverta a ordem de integração;
Use a mudança de coordenadas
e
e calcule a integral dupla
sobre a região
do plano
delimitada pelas retas
e
.