b) Considere a função g(theta) = theta * sen(theta). Calcule g''(pi/6).

Passo 1

Temos a função e queremos calcular a segunda derivada dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, especialmente a regra do produto e a diferenciação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de . Como é o produto de duas funções ( e ), usamos a regra do produto, que diz que se e são funções de , então:
Aplicando isso:
Sabemos que e , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente a primeira derivada :
Sabemos que . Para derivar , usamos novamente a regra do produto:
Portanto, a segunda derivada é:

Passo 4

Finalmente, substituímos na expressão de :
Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Resposta

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