b) Considere a função
. Calcule
.
Passo 1
Temos a função e queremos calcular a segunda derivada dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, especialmente a regra do produto e a diferenciação de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
. Como
é o produto de duas funções (
e ), usamos a regra do produto, que diz que se
e
são funções de
, então:
Aplicando isso:
Sabemos que
e , então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar novamente a primeira derivada
:
Sabemos que . Para derivar
, usamos novamente a regra do produto:
Portanto, a segunda derivada é:
Passo 4
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Sabemos que:
Substituindo esses valores: