Encontre uma parábola y = a x^2 + b x + c que passe pelo ponto ( 1,4 e cujas retas tangentes em x = 1 e x = 5 tenham inclinações 6 e -2 , respectivamente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma parábola da forma que passa pelo ponto (1, 4) e que tem retas tangentes nos pontos onde e com inclinações (ou derivadas) de 6 e -2, respectivamente. Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de funções quadráticas e derivadas para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Vamos começar usando o fato de que a parábola passa pelo ponto (1, 4). Isso significa que, quando substituímos e na equação da parábola, a igualdade deve se manter:
Essa é nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, precisamos considerar as inclinações das retas tangentes nos pontos e . A inclinação de uma reta tangente a uma curva em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto.
A derivada da função é:

Passo 4

Para , a inclinação da tangente é 6. Substituindo na derivada:
Essa é a segunda equação.

Passo 5

Para , a inclinação da tangente é -2. Substituindo na derivada:
Essa é a terceira equação.

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 7

Primeiro, subtraímos a segunda equação da terceira para eliminar :

Passo 8

Com , substituímos na segunda equação para encontrar :

Passo 9

Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são , e . Portanto, a parábola desejada é:

Exercícios relacionados