Uma bola de massa m é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva v0. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo k * |v|, onde k é uma constante positiva e v(t) é a velocidade no instante t.( Durante a subida, v(t) é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida, v(t) é negativa e a resistência do ar age para cima)
e) Encontre o tempo t1 que a bola leva para alcançar sua altura máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais tópicos vamos precisar para resolver. Temos uma bola de massa lançada para cima com velocidade inicial . As forças que atuam na bola são a gravidade ( ) para baixo e a resistência do ar, que depende da velocidade da bola e também age contra o movimento. Queremos descobrir quanto tempo ( ) a bola leva para atingir a altura máxima, ou seja, o ponto onde a velocidade dela é zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica (forças e movimento) e equações diferenciais, já que a resistência do ar depende da velocidade, que muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola durante a subida:
  1. Força da gravidade ( ): Puxa a bola para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Força de resistência do ar ( ): Age contra o movimento, então durante a subida, também para baixo, e é dada por , onde é uma constante positiva e é a velocidade.
Como ambas as forças estão na mesma direção (para baixo), a força resultante ( ) que age na bola é:

Passo 3

Agora, usando a segunda lei de Newton, sabemos que , onde é a aceleração. Portanto:
Como é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), podemos reescrever a equação como:
Vamos rearranjar para isolar :

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar a velocidade em função do tempo. Vamos resolver a equação:
Para resolver, usamos o fator integrante :
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por :
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a expressão para a velocidade é:

Passo 5

Queremos encontrar o tempo quando a velocidade (altura máxima). Vamos igualar a expressão de a zero:
Resolvendo para :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por :
Ou, de forma mais simples:

Resposta

O tempo que a bola leva para alcançar sua altura máxima é:

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