Uma bola de massa
é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva
. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo
, onde
é uma constante positiva e
é a velocidade no instante
.( Durante a subida,
é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida,
é negativa e a resistência do ar age para cima)
e) Encontre o tempo
que a bola leva para alcançar sua altura máxima.
e) Encontre o tempo
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais tópicos vamos precisar para resolver. Temos uma bola de massa
lançada para cima com velocidade inicial
. As forças que atuam na bola são a gravidade (
) para baixo e a resistência do ar, que depende da velocidade da bola e também age contra o movimento. Queremos descobrir quanto tempo (
) a bola leva para atingir a altura máxima, ou seja, o ponto onde a velocidade dela é zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica (forças e movimento) e equações diferenciais, já que a resistência do ar depende da velocidade, que muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola durante a subida:
- Força da gravidade (
): Puxa a bola para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Força de resistência do ar (
): Age contra o movimento, então durante a subida, também para baixo, e é dada por , onde é uma constante positiva e é a velocidade.
Como ambas as forças estão na mesma direção (para baixo), a força resultante (
) que age na bola é:
Passo 3
Agora, usando a segunda lei de Newton, sabemos que
, onde
é a aceleração. Portanto:
Como
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), podemos reescrever a equação como:
Vamos rearranjar para isolar
:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar a velocidade
em função do tempo. Vamos resolver a equação:
Para resolver, usamos o fator integrante
:
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, a expressão para a velocidade é:
Passo 5
Queremos encontrar o tempo
quando a velocidade
(altura máxima). Vamos igualar a expressão de
a zero:
Resolvendo para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Ou, de forma mais simples:
Resposta
O tempo que a bola leva para alcançar sua altura máxima é: