Uma bola de massa m é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva v0. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo k * |v|, onde k é uma constante positiva e v(t) é a velocidade no instante t.( Durante a subida, v(t) é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida, v(t) é negativa e a resistência do ar age para cima)
b) Encontre a velocidade v(t) do corpo em qualquer instante t.

Passo 1

Entendendo o problema: Temos uma bola de massa lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial . As forças que atuam nela são a gravidade e a resistência do ar. Queremos encontrar a velocidade da bola em qualquer instante .
Matéria envolvida: Este problema envolve dinâmica, mais especificamente as leis de Newton e a resolução de equações diferenciais para descrever o movimento da bola.
O que precisamos para resolver: Precisamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e resolver a equação diferencial resultante para encontrar .

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton: A segunda lei de Newton diz que , onde é a força resultante, é a massa e é a aceleração.
Aqui, as forças atuantes são:
  1. Força da gravidade: (negativa porque aponta para baixo).
  2. Força da resistência do ar: (oposta ao movimento).
Então, a força total é:
Aplicando a segunda lei de Newton:

Passo 3

Organizando a equação diferencial: Vamos rearranjar a equação para torná-la mais fácil de resolver:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
onde e .

Passo 4

Encontrando o fator integrante: Para resolver essa equação, usamos um fator integrante , que é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela :

Passo 5

Simplificando a equação: A equação fica:
Integrando ambos os lados: Integramos em relação ao tempo :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Calculando a integral: A integral é:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Determinando a constante : Usamos a condição inicial :
Então,

Passo 9

Expressando a solução final: Substituindo na expressão de :

Resposta

A velocidade da bola em qualquer instante é dada por:

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