Uma bola de massa
é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva
. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo
, onde
é uma constante positiva e
é a velocidade no instante
.( Durante a subida,
é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida,
é negativa e a resistência do ar age para cima)
b) Encontre a velocidade
do corpo em qualquer instante
.
b) Encontre a velocidade
Passo 1
Entendendo o problema: Temos uma bola de massa
lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial
. As forças que atuam nela são a gravidade e a resistência do ar. Queremos encontrar a velocidade
da bola em qualquer instante
.
Matéria envolvida: Este problema envolve dinâmica, mais especificamente as leis de Newton e a resolução de equações diferenciais para descrever o movimento da bola.
O que precisamos para resolver: Precisamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e resolver a equação diferencial resultante para encontrar
.
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton: A segunda lei de Newton diz que
, onde
é a força resultante,
é a massa e
é a aceleração.
Aqui, as forças atuantes são:
- Força da gravidade:
(negativa porque aponta para baixo). - Força da resistência do ar:
(oposta ao movimento).
Então, a força total
é:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 3
Organizando a equação diferencial: Vamos rearranjar a equação para torná-la mais fácil de resolver:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
onde
e
.
Passo 4
Encontrando o fator integrante: Para resolver essa equação, usamos um fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela
:
Passo 5
Simplificando a equação: A equação fica:
Integrando ambos os lados: Integramos em relação ao tempo
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculando a integral: A integral
é:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Determinando a constante
: Usamos a condição inicial
:
Então,
Passo 9
Expressando a solução final: Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A velocidade da bola em qualquer instante
é dada por: