b) Considere
e
duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear.É possível haver intersecção entre os gráficos de
e
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas soluções diferentes,
e
, de uma equação diferencial de primeira ordem linear. Nosso objetivo aqui é descobrir se os gráficos dessas duas soluções podem se cruzar em algum ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Basicamente, é uma equação que relaciona uma função
com sua primeira derivada
, e tem a forma geral:
Essas equações têm uma propriedade especial chamada unicidade da solução, que garante que, dado um ponto inicial, existe apenas uma solução que passa por esse ponto.
Passo 3
Agora, imagine os gráficos de duas soluções distintas
e
. Se eles se cruzarem em algum ponto, isso significaria que existem pelo menos duas soluções diferentes passando pelo mesmo ponto inicial. Mas, pela unicidade da solução que mencionamos, isso não pode acontecer!
Passo 4
Então, se assumirmos que
e
se cruzam em algum ponto, estaríamos violando o princípio da unicidade. Como não dá pra ter duas soluções distintas passando pelo mesmo ponto, concluímos que os gráficos de
e
não podem se interseccionar.
Resposta
Não, os gráficos de duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear não podem se cruzar, porque isso violaria a unicidade da solução para que ponto inicial.