O Criptônio-85 é um elemento radioativo. Uma amostra desse elemento se desintegra a uma taxa de
ao ano (isso significa que a taxa anual com que a massa da amostra diminui é proporcional em cada instante à massa da amostra, sendo a constante de proporcionalidade igual a 0,063
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado fala sobre o Criptônio-85, que é um elemento radioativo. A gente sabe que uma amostra desse elemento perde massa a uma taxa de 6,3% ao ano. Isso significa que a quantidade de massa que a amostra perde a cada ano é proporcional à massa que ela tem naquele momento. A constante de proporcionalidade aqui é 0,063. Vamos usar isso para descobrir como a massa da amostra muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que essa situação envolve um processo de decaimento exponencial. No decaimento exponencial, a quantidade de uma substância diminui a uma taxa que é proporcional à quantidade presente. A equação geral para isso é:
Aqui,
é a massa da amostra no tempo
, e
é a constante de proporcionalidade (no caso, 0,063).
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Em seguida, integramos os dois lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para achar a solução geral, vamos isolar
:
Podemos substituir
por
, que representa a massa inicial da amostra. Então, a equação fica:
Resposta
A massa da amostra de Criptônio-85 após
anos é dada por:
Exercícios relacionados
a) Enuncie o teorema de existência e unicidade de solução de problemas de valor inicial de equações de primeira ordem lineares.
c) Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a
da massa inicial?
b) Considere
e
duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear.É possível haver intersecção entre os gráficos de
e
? Justifique sua resposta.
Considere a função erro (Erf), definida por
Esta função, também chamada de função erro de Gauss, é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem algum tipo de difusão.
Verifique que a função definida por
Verifique que a função
é solução do PVI