Considere a função erro (Erf), definida por
Erf(x)=2raizpi integral0^x e^-t^2 d t
Esta função, também chamada de função erro de Gauss, é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem algum tipo de difusão.
Verifique que a função y definida por
y(x)=e^x^2+12 e^x^2 raizpi Erf(x)
é solução do PVI
l d yd x=2 x y+1 y(0)=1

Passo 1

Vamos conferir se a função l dydx = 2xy + 1 y(0) = 1 é solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada pelo sistema:
Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função erro ( ) e aplicar regras de derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y(x) = e^x^2 + 12 e^x^2 raizpi Erf(x) . A função é composta por duas partes:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo ddx e^x^2 = e^x^2 cdot 2x = 2x e^x^2 :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de onde é .

Passo 4

Derivando o segundo termo 12 raizpi cdot e^x^2 cdot Erf(x) :
Primeiro, fatoramos constantes:
ddx ( e^x^2 Erf(x) ) = e^x^2 cdot ddx Erf(x) + Erf(x) cdot ddx e^x^2
Aplicamos a regra do produto:
ddx Erf(x) = 2raizpi e^-x^2
Sabemos que:
ddx ( e^x^2 Erf(x) ) = e^x^2 cdot 2raizpi e^-x^2 + Erf(x) cdot 2x e^x^2 = 2raizpi + 2x e^x^2 Erf(x)
E já calculamos 12 raizpi cdot ( 2raizpi + 2x e^x^2 Erf(x) ) = 1 + x e^x^2 raizpi Erf(x) .
Substituindo:
Multiplicando pela constante :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
dydx = 2x e^x^2 + 1 + x e^x^2 raizpi Erf(x)
Reescrevendo a expressão de y(x) = e^x^2 + 12 e^x^2 raizpi Erf(x) :
2x y(x) = 2x e^x^2 + x e^x^2 raizpi Erf(x)
Multiplicando por :

Passo 6

Comparando dydx = 2x e^x^2 + 1 + x e^x^2 raizpi Erf(x) = 2x y(x) + 1 com :
Portanto, a função satisfaz a equação .

Passo 7

Verificamos a condição inicial y(0) = e^0 + 12 e^0 raizpi Erf(0) = 1 + 12 cdot 1 cdot raizpi cdot 0 = 1 :
Substituindo na função :

Resposta

A função é solução do sistema dado, satisfazendo tanto a equação diferencial quanto a condição inicial .

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