Considere a função erro (Erf), definida por
Esta função, também chamada de função erro de Gauss, é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem algum tipo de difusão.
Verifique que a função
definida por
é solução do PVI
Verifique que a função
Passo 1
Vamos conferir se a função
é solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada pelo sistema:
Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função erro (
) e aplicar regras de derivação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função
é composta por duas partes:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
onde
é
.
Passo 4
Derivando o segundo termo
:
Primeiro, fatoramos constantes:
Aplicamos a regra do produto:
Sabemos que:
E já calculamos
.
Substituindo:
Multiplicando pela constante
:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
Reescrevendo a expressão de
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Comparando
com
:
Portanto, a função
satisfaz a equação
.
Passo 7
Verificamos a condição inicial
:
Substituindo
na função
:
Resposta
A função
é solução do sistema dado, satisfazendo tanto a equação diferencial
quanto a condição inicial
.
Exercícios relacionados
b) Considere
e
duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear.É possível haver intersecção entre os gráficos de
e
? Justifique sua resposta.
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ao ano (isso significa que a taxa anual com que a massa da amostra diminui é proporcional em cada instante à massa da amostra, sendo a constante de proporcionalidade igual a 0,063
.
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Sendo conhecida uma solução particular
, a equação de Ricatti pode ser resolvida fazendo a substituição
Então
a) Substituindo
e
na equação de Ricatti acima, e usando o fato que
é solução dessa equação, verifique que a nova equação encontrada é uma equação de Bernoulli(com
) na varável
.
a) Resolva o PVI
sendo k uma constante não nula arbitrária e