Considere a função erro (Erf), definida por
Esta função, também chamada de função erro de Gauss, é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem algum tipo de difusão.
Verifique que a função
definida por
é solução do PVI
Verifique que a função
Passo 1
Vamos conferir se a função
é solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada pelo sistema:
Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função erro (
) e aplicar regras de derivação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função
é composta por duas partes:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
onde
é
.
Passo 4
Derivando o segundo termo
:
Primeiro, fatoramos constantes:
Aplicamos a regra do produto:
Sabemos que:
E já calculamos
.
Substituindo:
Multiplicando pela constante
:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
Reescrevendo a expressão de
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Comparando
com
:
Portanto, a função
satisfaz a equação
.
Passo 7
Verificamos a condição inicial
:
Substituindo
na função
:
Resposta
A função
é solução do sistema dado, satisfazendo tanto a equação diferencial
quanto a condição inicial
.