Considere a função erro (Erf), definida por
Esta função, também chamada de função erro de Gauss, é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem algum tipo de difusão.
Verifique que a função definida por
é solução do PVI

Passo 1

Vamos conferir se a função é solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada pelo sistema:
Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função erro ( ) e aplicar regras de derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função é composta por duas partes:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de onde é .

Passo 4

Derivando o segundo termo :
Primeiro, fatoramos constantes:
Aplicamos a regra do produto:
Sabemos que:
E já calculamos .
Substituindo:
Multiplicando pela constante :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
Reescrevendo a expressão de :
Multiplicando por :

Passo 6

Comparando com :
Portanto, a função satisfaz a equação .

Passo 7

Verificamos a condição inicial :
Substituindo na função :

Resposta

A função é solução do sistema dado, satisfazendo tanto a equação diferencial quanto a condição inicial .

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