a) Enuncie o teorema de existência e unicidade de solução de problemas de valor inicial de equações de primeira ordem lineares.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente enunciar o teorema de existência e unicidade de solução para problemas de valor inicial de equações diferenciais de primeira ordem lineares. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que garante que uma equação diferencial de primeira ordem linear tenha uma solução única passando por um ponto inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um problema de valor inicial de uma equação diferencial de primeira ordem linear tem a forma:
com a condição inicial
.
Passo 3
O teorema de existência e unicidade nos diz as condições sob as quais essa equação tem uma solução única que passa pelo ponto inicial dado.
Passo 4
As condições principais são que as funções
e
sejam contínuas em um intervalo que contenha o ponto
. A continuidade dessas funções garante que possamos aplicar métodos como o fator integrante para encontrar a solução.
Passo 5
Com essas condições satisfeitas, o teorema afirma que existe uma única solução para o problema de valor inicial na forma de uma equação de primeira ordem linear, ou seja, não há ambiguidades ou múltiplas soluções que passem pelo mesmo ponto inicial.
Resposta
Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial de Equações de Primeira Ordem Lineares:
Se as funções
e
são contínuas em um intervalo que contém o ponto
, então existe uma única função
que satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
.
Exercícios relacionados
c) Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a
da massa inicial?
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
O Criptônio-85 é um elemento radioativo. Uma amostra desse elemento se desintegra a uma taxa de
ao ano (isso significa que a taxa anual com que a massa da amostra diminui é proporcional em cada instante à massa da amostra, sendo a constante de proporcionalidade igual a 0,063
.
b) Considere
e
duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear.É possível haver intersecção entre os gráficos de
e
? Justifique sua resposta.