As equações de Ricatti, importantes para a construção de modelos para monitorar fenômenos associados a linhas de transmissão, teoria de ruídos e processos aleatórios, teoria do controle, problemas de difusão, etc., são equações da forma
Sendo conhecida uma solução particular
, a equação de Ricatti pode ser resolvida fazendo a substituição
Então
a) Substituindo
e
na equação de Ricatti acima, e usando o fato que
é solução dessa equação, verifique que a nova equação encontrada é uma equação de Bernoulli(com
) na varável
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações de Ricatti, que aparecem em vários contextos como linhas de transmissão, teoria de controle e mais. A gente tem uma equação desse tipo:
E sabemos que já existe uma solução específica
. A ideia é usar essa solução para simplificar a equação original. Vamos precisar substituir
por
e ver como isso transforma a equação de Ricatti em uma equação de Bernoulli com grau
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida no enunciado:
Isso significa que
é a diferença entre a solução geral
e a solução particular
. Agora, precisamos achar a derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação de Ricatti original:
Substituindo:
Passo 4
Sabemos que
é uma solução particular da equação de Ricatti. Portanto, ela satisfaz a equação original:
Vamos usar isso para simplificar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, observe que a equação resultante é:
Essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Comparando, vemos que aqui
,
e
.
Resposta
Assim, ao fazer a substituição
na equação de Ricatti, obtivemos uma equação de Bernoulli com grau
na variável
:
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Considere a função erro (Erf), definida por
Esta função, também chamada de função erro de Gauss, é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem algum tipo de difusão.
Verifique que a função definida por
Verifique que a função
é solução do PVI
b) Considere
e
duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear.É possível haver intersecção entre os gráficos de
e
? Justifique sua resposta.
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Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor: ciclóide