As equações de Ricatti, importantes para a construção de modelos para monitorar fenômenos associados a linhas de transmissão, teoria de ruídos e processos aleatórios, teoria do controle, problemas de difusão, etc., são equações da forma
d/y = p(x) + q(x) y + r(x) y^2
Sendo conhecida uma solução particular y1(x), a equação de Ricatti pode ser resolvida fazendo a substituição
y(x) = y1(x) + v(x)
Então
d y/d x = d y1/d x + d v/d x
a) Substituindo y e d/y d/x na equação de Ricatti acima, e usando o fato que y1 é solução dessa equação, verifique que a nova equação encontrada é uma equação de Bernoulli(com n = 2 ) na varável v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações de Ricatti, que aparecem em vários contextos como linhas de transmissão, teoria de controle e mais. A gente tem uma equação desse tipo:
E sabemos que já existe uma solução específica . A ideia é usar essa solução para simplificar a equação original. Vamos precisar substituir por e ver como isso transforma a equação de Ricatti em uma equação de Bernoulli com grau .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida no enunciado:
Isso significa que é a diferença entre a solução geral e a solução particular . Agora, precisamos achar a derivada de :

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação de Ricatti original:
Substituindo:

Passo 4

Sabemos que é uma solução particular da equação de Ricatti. Portanto, ela satisfaz a equação original:
Vamos usar isso para simplificar a equação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, observe que a equação resultante é:
Essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Comparando, vemos que aqui , e .

Resposta

Assim, ao fazer a substituição na equação de Ricatti, obtivemos uma equação de Bernoulli com grau na variável :

Exercícios relacionados