(b) As coordenadas cartesianas de um ponto são
. Encontre dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para converter as coordenadas cartesianas do ponto
para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como funciona a conversão entre esses dois sistemas de coordenadas e utilizar fórmulas matemáticas específicas para calcular o raio
e o ângulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o raio
, que representa a distância do ponto até a origem (0,0) no plano cartesiano. A fórmula para encontrar
é:
Onde
e
.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Portanto, o raio
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo
, que é o ângulo formado entre o raio
e o eixo positivo dos
. Usamos a função arco-tangente para calcular:
Substituindo os valores:
Passo 5
A tangente de
corresponde a um ângulo de
radianos. Entretanto, como o ponto
está no segundo quadrante, precisamos ajustar o ângulo para refletir a posição correta:
Portanto, o ângulo
é
radianos.
Passo 6
As coordenadas polares são representadas como um par
. No entanto, existe uma segunda forma válida de representar as mesmas coordenadas, utilizando um raio negativo e ajustando o ângulo em
radianos:
Resposta
Os dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto
são:
e
Exercícios relacionados
Em cada item, determine o domínio da função.
.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Verdadeiro ou Falso? Justifique. Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem.