(b) As coordenadas cartesianas de um ponto são . Encontre dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para converter as coordenadas cartesianas do ponto para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como funciona a conversão entre esses dois sistemas de coordenadas e utilizar fórmulas matemáticas específicas para calcular o raio e o ângulo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio , que representa a distância do ponto até a origem (0,0) no plano cartesiano. A fórmula para encontrar é:
Onde e .

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
Portanto, o raio é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo , que é o ângulo formado entre o raio e o eixo positivo dos . Usamos a função arco-tangente para calcular:
Substituindo os valores:

Passo 5

A tangente de corresponde a um ângulo de radianos. Entretanto, como o ponto está no segundo quadrante, precisamos ajustar o ângulo para refletir a posição correta:
Portanto, o ângulo é radianos.

Passo 6

As coordenadas polares são representadas como um par . No entanto, existe uma segunda forma válida de representar as mesmas coordenadas, utilizando um raio negativo e ajustando o ângulo em radianos:

Resposta

Os dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto são:
e

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Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
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