Verdadeiro ou Falso? Justifique. Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: “Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem.” Estamos trabalhando com conceitos de funções na matemática, especificamente sobre injeção e bijeção. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e o que é uma bijeção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada elemento distinto em , os resultados na imagem também são distintos. Em outras palavras, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que é uma função bijeção. Uma função é bijetora se ela é simultaneamente injetora e sobrejetora. Sobrejetora significa que para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em que mapeia para ele.

Passo 4

O enunciado afirma que toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem. Vamos interpretar isso: se a função é injetora, ela já garante que cada elemento do domínio mapeia para um único elemento na imagem, e não há repetições. Além disso, a imagem de é exatamente o conjunto de todos esses elementos únicos em .

Passo 5

Como a função é injetora, e estamos considerando a imagem de como o conjunto de chegada, então para cada elemento na imagem, existe exatamente um elemento no domínio que o mapeia. Isso satisfaz a condição de sobrejetividade quando restringimos o contradomínio para a imagem.

Passo 6

Portanto, se considerarmos a função de para sua imagem , e a função for injetora, ela automaticamente se torna sobrejetora em relação à sua imagem. Logo, ela é bijetora entre seu domínio e sua imagem.

Resposta

Verdadeiro. Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem, pois sendo injetora garante que cada elemento do domínio mapeia de forma única para a imagem, e ao considerar apenas a imagem como conjunto de chegada, a função também é sobrejetora.

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