Verdadeiro ou Falso? Justifique. Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: “Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem.” Estamos trabalhando com conceitos de funções na matemática, especificamente sobre injeção e bijeção. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e o que é uma bijeção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, para cada elemento distinto em
, os resultados na imagem
também são distintos. Em outras palavras, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que é uma função bijeção. Uma função
é bijetora se ela é simultaneamente injetora e sobrejetora. Sobrejetora significa que para todo elemento em
, existe pelo menos um elemento em
que mapeia para ele.
Passo 4
O enunciado afirma que toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem. Vamos interpretar isso: se a função é injetora, ela já garante que cada elemento do domínio mapeia para um único elemento na imagem, e não há repetições. Além disso, a imagem de
é exatamente o conjunto de todos esses elementos únicos em
.
Passo 5
Como a função é injetora, e estamos considerando a imagem de
como o conjunto de chegada, então para cada elemento na imagem, existe exatamente um elemento no domínio que o mapeia. Isso satisfaz a condição de sobrejetividade quando restringimos o contradomínio para a imagem.
Passo 6
Portanto, se considerarmos a função de
para sua imagem
, e a função for injetora, ela automaticamente se torna sobrejetora em relação à sua imagem. Logo, ela é bijetora entre seu domínio e sua imagem.
Resposta
Verdadeiro. Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem, pois sendo injetora garante que cada elemento do domínio mapeia de forma única para a imagem, e ao considerar apenas a imagem como conjunto de chegada, a função também é sobrejetora.
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Em cada item, determine o domínio e a imagem da função.
.