Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O conteúdo que vamos usar aqui é o estudo de limites de sequências, especificamente para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, calcular seu limite. Para resolver isso, precisaremos entender como os termos dominantes no numerador e no denominador afetam o comportamento da sequência conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto no numerador quanto no denominador, os termos que têm são os que mais crescem conforme aumenta. Isso significa que, para grandes valores de , os termos constantes (como 7 e 3) se tornam menos significativos comparados aos termos que envolvem .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos por , que é o maior grau presente na sequência:

Passo 4

Agora, analisando cada parte individualmente:
  • tende a 0 quando tende ao infinito.
  • também tende a 0 quando tende ao infinito.
Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 5

Calculando a divisão:

Resposta

A sequência converge para .

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Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.