Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O conteúdo que vamos usar aqui é o estudo de limites de sequências, especificamente para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, calcular seu limite. Para resolver isso, precisaremos entender como os termos dominantes no numerador e no denominador afetam o comportamento da sequência conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, observamos que tanto no numerador quanto no denominador, os termos que têm
são os que mais crescem conforme
aumenta. Isso significa que, para grandes valores de
, os termos constantes (como 7 e 3) se tornam menos significativos comparados aos termos que envolvem
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos por
, que é o maior grau presente na sequência:
Passo 4
Agora, analisando cada parte individualmente:
-
tende a 0 quando tende ao infinito. -
também tende a 0 quando tende ao infinito.
Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 5
Calculando a divisão:
Resposta
A sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
(b) As coordenadas cartesianas de um ponto são
. Encontre dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto.
Em cada item, determine o domínio da função.
.
Verdadeiro ou Falso? Justifique. Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.