Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência para analisar:
. O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela chega a um certo número quando n fica muito grande) ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites e propriedades das funções logarítmicas e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Temos:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando n tende ao infinito.
-
: À medida que n cresce, o logaritmo natural de n também cresce, mas de forma relativamente lenta. Portanto, vai diminuindo e se aproximando de 0. -
: Aqui, conforme n fica maior, também diminui rapidamente rumo a 0.
Passo 4
Como ambos os termos da soma
tendem a 0 quando n vai ao infinito, a soma também tende a 0. Portanto, o limite da sequência é 0.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.
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Descreva como obter o esboço do gráfico de
a partir do gráfico da função
.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Em cada item, determine o domínio da função.
.
(b) As coordenadas cartesianas de um ponto são
. Encontre dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto.