Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência para analisar: . O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela chega a um certo número quando n fica muito grande) ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites e propriedades das funções logarítmicas e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Temos:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando n tende ao infinito.
  1. : À medida que n cresce, o logaritmo natural de n também cresce, mas de forma relativamente lenta. Portanto, vai diminuindo e se aproximando de 0.
  2. : Aqui, conforme n fica maior, também diminui rapidamente rumo a 0.

Passo 4

Como ambos os termos da soma tendem a 0 quando n vai ao infinito, a soma também tende a 0. Portanto, o limite da sequência é 0.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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