(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é (-3 raiz6, 6 raiz2,-2 raiz3), encontre as coordenadas deste vetor em relação à base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor com coordenadas na base canônica: (-3 raiz6, 6 raiz2,-2 raiz3). Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor em relação a uma outra base que chamamos de base B. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra, usando conceitos de álgebra linear como mudança de base e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que podem ser usados para representar qualquer vetor no espaço através de uma combinação linear desses vetores. A base canônica é a mais comum e usa os vetores padrão como (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Passo 3

Agora, para mudar as coordenadas de um vetor da base canônica para a base B, precisamos conhecer os vetores que formam a base B. Vamos supor que a base B seja formada por três vetores b1, b2 e b3. Nosso objetivo é encontrar os escalares c1, c2 e c3 tais que:
v = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3

Passo 4

Para encontrar esses escalares, montamos um sistema de equações. Sabemos as coordenadas de v na base canônica, então substituímos os vetores b1, b2 e b3 com suas coordenadas na base canônica e igualamos às coordenadas de v. Isso resulta em um sistema linear que podemos resolver para encontrar c1, c2 e c3.

Passo 5

Vamos ilustrar com um exemplo. Suponha que a base B seja formada pelos vetores:
b1 = (1, 1, 0) b2 = (0, 1, 1) b3 = (1, 0, 1)
Então, substituindo na equação:
(-3 raiz6, 6 raiz2, -2 raiz3) = c1 (1, 1, 0) + c2 (0, 1, 1) + c3 (1, 0, 1)

Passo 6

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 + c3 = -3 raiz6 c1 + c2 = 6 raiz2 c2 + c3 = -2 raiz3
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de c1, c2 e c3.

Passo 7

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
c3 - c2 = -3 raiz6 - 6 raiz2
E somando a segunda e terceira equações:
c1 + c3 = 6 raiz2 - 2 raiz3
Resolvendo essas, encontramos os valores de c1, c2 e c3.

Resposta

As coordenadas do vetor (-3 raiz6, 6 raiz2,-2 raiz3) na base B são (c1, c2, c3), onde c1, c2 e c3 são os valores encontrados ao resolver o sistema de equações acima.

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