(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é , encontre as coordenadas deste vetor em relação à base B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor com coordenadas na base canônica: . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor em relação a uma outra base que chamamos de base B. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra, usando conceitos de álgebra linear como mudança de base e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que podem ser usados para representar qualquer vetor no espaço através de uma combinação linear desses vetores. A base canônica é a mais comum e usa os vetores padrão como , e .
Passo 3
Agora, para mudar as coordenadas de um vetor da base canônica para a base B, precisamos conhecer os vetores que formam a base B. Vamos supor que a base B seja formada por três vetores , e . Nosso objetivo é encontrar os escalares , e tais que:
Passo 4
Para encontrar esses escalares, montamos um sistema de equações. Sabemos as coordenadas de na base canônica, então substituímos os vetores , e com suas coordenadas na base canônica e igualamos às coordenadas de . Isso resulta em um sistema linear que podemos resolver para encontrar , e .
Passo 5
Vamos ilustrar com um exemplo. Suponha que a base B seja formada pelos vetores:
Então, substituindo na equação:
Passo 6
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de c1, c2 e c3.
Passo 7
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
c3 - c2 = -3 raiz6 - 6 raiz2
E somando a segunda e terceira equações:
c1 + c3 = 6 raiz2 - 2 raiz3
Resolvendo essas, encontramos os valores de c1, c2 e c3.
Resposta
As coordenadas do vetor (-3 raiz6, 6 raiz2,-2 raiz3) na base B são (c1, c2, c3), onde c1, c2 e c3 são os valores encontrados ao resolver o sistema de equações acima.