Dada a função f(x, y)=1x^2+y^2, determine:
a) As curvas de nível.
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto (0,2).
c) Um esboço do gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir algumas coisas sobre ela. O conteúdo envolve curvas de nível, que são como “cortes” da função em diferentes alturas. Para resolver, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como identificar e esboçar essas curvas e o gráfico geral da função.

Passo 2

a) Determinar as curvas de nível.
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas onde a função f(x, y) = k mantém um valor constante. Ou seja, para um valor qualquer 1x^2 + y^2 = k , temos:
x^2 + y^2 = 1k
No nosso caso, , então:
Vamos resolver isso para e :
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem . Portanto, as curvas de nível da função são círculos concêntricos centrados na origem, onde cada círculo tem um raio que depende do valor de .

Passo 3

b) Encontrar a equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto f(0, 2) = 10^2 + 2^2 = 14 = 14 .
Primeiro, vamos encontrar o valor de x^2 + y^2 = 114 = 4 para a curva de nível que passa pelo ponto x^2 + y^2 = 4 . Substituímos e na função:
Então, . Agora, plugamos esse valor na equação das curvas de nível:
Assim, a equação da curva de nível é:
Para esboçar essa curva, basta desenhar um círculo com raio (já que ) centrado na origem. O ponto está exatamente nesse círculo.

Passo 4

c) Esboçar o gráfico da função .
O gráfico dessa função é uma superfície no espaço tridimensional. Sabemos que para cada ponto , o valor de representa a altura da superfície naquele ponto.
Observações importantes:
  • Quanto mais próximo de você estiver, maior será o valor de , já que fica pequeno.
  • À medida que você se afasta da origem, o valor de diminui, pois aumenta.
  • A função não está definida na origem , pois teríamos uma divisão por zero.
Para esboçar:
  • Imagine uma espécie de ulcerais ou pico em forma de cone invertido acima da origem.
  • As curvas de nível (círculos) que desenhamos anteriormente ajudam a visualizar como a superfície decresce uniformemente em todas as direções a partir do centro.

Resposta

a) As curvas de nível da função são círculos centrados na origem com equação , onde é constante.
b) A curva de nível que passa pelo ponto tem a equação e é um círculo de raio 2 centrado na origem.
c) O gráfico da função é uma superfície tridimensional em forma de cone invertido, com alturas maiores próximas à origem e decrescendo à medida que nos afastamos dela, excluindo a própria origem.

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