Dada a função
, determine:
a) As curvas de nível.
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto
.
c) Um esboço do gráfico da função.
a) As curvas de nível.
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto
c) Um esboço do gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir algumas coisas sobre ela. O conteúdo envolve curvas de nível, que são como “cortes” da função em diferentes alturas. Para resolver, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como identificar e esboçar essas curvas e o gráfico geral da função.
Passo 2
a) Determinar as curvas de nível.
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para um valor qualquer
, temos:
No nosso caso,
, então:
Vamos resolver isso para
e
:
Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
. Portanto, as curvas de nível da função
são círculos concêntricos centrados na origem, onde cada círculo tem um raio que depende do valor de
.
Passo 3
b) Encontrar a equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto
.
Primeiro, vamos encontrar o valor de
para a curva de nível que passa pelo ponto
. Substituímos
e
na função:
Então,
. Agora, plugamos esse valor na equação das curvas de nível:
Assim, a equação da curva de nível é:
Para esboçar essa curva, basta desenhar um círculo com raio
(já que
) centrado na origem. O ponto
está exatamente nesse círculo.
Passo 4
c) Esboçar o gráfico da função
.
O gráfico dessa função é uma superfície no espaço tridimensional. Sabemos que para cada ponto
, o valor de
representa a altura da superfície naquele ponto.
Observações importantes:
- Quanto mais próximo de
você estiver, maior será o valor de , já que fica pequeno. - À medida que você se afasta da origem, o valor de
diminui, pois aumenta. - A função não está definida na origem
, pois teríamos uma divisão por zero.
Para esboçar:
- Imagine uma espécie de ulcerais ou pico em forma de cone invertido acima da origem.
- As curvas de nível (círculos) que desenhamos anteriormente ajudam a visualizar como a superfície decresce uniformemente em todas as direções a partir do centro.
Resposta
a) As curvas de nível da função
são círculos centrados na origem com equação
, onde
é constante.
b) A curva de nível que passa pelo ponto
tem a equação
e é um círculo de raio 2 centrado na origem.
c) O gráfico da função é uma superfície tridimensional em forma de cone invertido, com alturas maiores próximas à origem e decrescendo à medida que nos afastamos dela, excluindo a própria origem.