Sejam B=(1,-1,1),(0,1,1),(2,-1,2), e C a base canônica de R^3. Verifique se B é uma base de R^3. Em caso afirmativo, determine as coordenadas do vetor v=(2,2,2)C, em relação à base B.

Passo 1

Então, o que temos aqui é um conjunto de três vetores B = (1,-1,1), (0,1,1), (2,-1,2) no espaço R^3, e queremos saber se esses vetores formam uma base para R^3. Para isso, vamos precisar entender se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^3. Se isso for verdade, então B realmente é uma base. Depois disso, se for uma base, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = (2,2,2) em relação a essa base B.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores de B são linearmente independentes. Isso significa que ninguém dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Uma maneira fácil de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores de B como colunas:
A = 1 & 0 & 2 -1 & 1 & -1 1 & 1 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante da matriz A:
det(A) = 1 cdot 1 & -1 1 & 2 - 0 cdot -1 & -1 1 & 2 + 2 cdot -1 & 1 1 & 1
Calculando os menores:
1 & -1 1 & 2 = (1)(2) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3
-1 & 1 1 & 1 = (-1)(1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2
Então:

Passo 5

Como o determinante det(A) = -1 é diferente de zero, isso significa que os vetores de B são linearmente independentes e geram todo o espaço R^3. Portanto, B é uma base de R^3.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = (2,2,2) em relação à base B. Isso significa que queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
v = a cdot (1,-1,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (2,-1,2)
Vamos montar o sistema de equações para resolver isso.

Passo 7

Desenvolvendo a equação:
(2,2,2) = (a + 0 cdot b + 2c, -a + b - c, a + b + 2c)
Isso nos dá o seguinte sistema:
a + 2c = 2 -a + b - c = 2 a + b + 2c = 2

Passo 8

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
a + 2c = 2 Rightarrow a = 2 - 2c
Agora, substituímos a na segunda equação:
-(2 - 2c) + b - c = 2 -2 + 2c + b - c = 2 b + c = 4 Rightarrow b = 4 - c
Finalmente, substituímos a e b na terceira equação:
(2 - 2c) + (4 - c) + 2c = 2 6 - c = 2 -c = -4 Rightarrow c = 4
Agora, encontramos c = 4. Substituindo de volta:
a = 2 - 2(4) = 2 - 8 = -6 b = 4 - 4 = 0

Passo 9

Portanto, os escalares encontrados são a = -6, b = 0 e c = 4. Isso significa que as coordenadas do vetor v = (2,2,2) na base B são:
vB = (-6, 0, 4)

Resposta

Sim, B é uma base de R^3. As coordenadas do vetor v = (2,2,2)C em relação à base B são (-6, 0, 4).

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