Sejam , e a base canônica de . Verifique se é uma base de . Em caso afirmativo, determine as coordenadas do vetor , em relação à base .
Passo 1
Então, o que temos aqui é um conjunto de três vetores no espaço , e queremos saber se esses vetores formam uma base para . Para isso, vamos precisar entender se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se isso for verdade, então realmente é uma base. Depois disso, se for uma base, vamos encontrar as coordenadas do vetor em relação a essa base .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes. Isso significa que ninguém dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Uma maneira fácil de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Como o determinante det(A) = -1 é diferente de zero, isso significa que os vetores de B são linearmente independentes e geram todo o espaço R^3. Portanto, B é uma base de R^3.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = (2,2,2) em relação à base B. Isso significa que queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
v = a cdot (1,-1,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (2,-1,2)
Vamos montar o sistema de equações para resolver isso.
Passo 7
Desenvolvendo a equação:
(2,2,2) = (a + 0 cdot b + 2c, -a + b - c, a + b + 2c)
Isso nos dá o seguinte sistema:
a + 2c = 2 -a + b - c = 2 a + b + 2c = 2
Passo 8
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
a + 2c = 2 Rightarrow a = 2 - 2c
Agora, substituímos a na segunda equação:
-(2 - 2c) + b - c = 2 -2 + 2c + b - c = 2 b + c = 4 Rightarrow b = 4 - c
Finalmente, substituímos a e b na terceira equação:
(2 - 2c) + (4 - c) + 2c = 2 6 - c = 2 -c = -4 Rightarrow c = 4
Agora, encontramos c = 4. Substituindo de volta:
a = 2 - 2(4) = 2 - 8 = -6 b = 4 - 4 = 0
Passo 9
Portanto, os escalares encontrados são a = -6, b = 0 e c = 4. Isso significa que as coordenadas do vetor v = (2,2,2) na base B são:
vB = (-6, 0, 4)
Resposta
Sim, B é uma base de R^3. As coordenadas do vetor v = (2,2,2)C em relação à base B são (-6, 0, 4).