(b) Encontre um vetor
para que
seja uma base ortogonal positiva de
(Observação: Uma base em
é positiva se satisfaz a regra da mão direita, ou seja, seu produto misto deve ser positivo).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor
de forma que o conjunto
forme uma base ortogonal positiva em
. Isso significa que:
- Ortogonalidade: Os vetores
, e precisam ser mutuamente perpendiculares. - Base Positiva: A base deve seguir a regra da mão direita, ou seja, o produto misto
deve ser positivo.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Conhecer as propriedades do produto vetorial.
- Entender o que é uma base ortogonal positiva.
- Aplicar o conceito de produto misto para garantir a positividade.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que
seja ortogonal a
e
. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
, denotado por
, resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Então, vamos definir inicialmente:
Dessa forma,
será perpendicular a
e
, satisfazendo a condição de ortogonalidade.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a base
seja positiva, ou seja, que o produto misto
seja positivo. Já que definimos
, vamos calcular o produto misto:
Para simplificar, usamos a propriedade do produto misto que nos diz que se
, então:
onde
é o ângulo entre
e
.
Como estamos trabalhando com uma base ortogonal,
, então
, e o produto misto será positivo automaticamente. Portanto, nossa definição de
já satisfaz a condição de positividade.
Resposta
O vetor
que torna
uma base ortogonal positiva de
é: