(b) Encontre um vetor w para que B=u, v, w seja uma base ortogonal positiva de R^3 (Observação: Uma base em R^3 é positiva se satisfaz a regra da mão direita, ou seja, seu produto misto deve ser positivo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor de forma que o conjunto forme uma base ortogonal positiva em . Isso significa que:
  • Ortogonalidade: Os vetores , e precisam ser mutuamente perpendiculares.
  • Base Positiva: A base deve seguir a regra da mão direita, ou seja, o produto misto deve ser positivo.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer as propriedades do produto vetorial.
  • Entender o que é uma base ortogonal positiva.
  • Aplicar o conceito de produto misto para garantir a positividade.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que w = u times v seja ortogonal a e . Uma maneira eficiente de fazer isso é usando o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e , denotado por , resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Então, vamos definir inicialmente:
Dessa forma, será perpendicular a e , satisfazendo a condição de ortogonalidade.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a base u cdot (v times w) = u cdot (v times (u times v)) seja positiva, ou seja, que o produto misto u cdot (v times w) = |u|^2 |v|^2 sin^2(theta) seja positivo. Já que definimos , vamos calcular o produto misto:
Para simplificar, usamos a propriedade do produto misto que nos diz que se , então:
onde é o ângulo entre e .
Como estamos trabalhando com uma base ortogonal, , então , e o produto misto será positivo automaticamente. Portanto, nossa definição de já satisfaz a condição de positividade.

Resposta

O vetor w = u times v que torna uma base ortogonal positiva de é:

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