(b) É correto afirmar que
é função pontencial de algum campo? Se sim, qual campo?
Passo 1
Então, a gente tem a função
e queremos saber se ela é uma função potencial de algum campo vetorial. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma função potencial e como verificar se uma função dada pode ser usada para gerar um campo vetorial através do seu gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Uma função
é chamada de função potencial para um campo vetorial
se
for igual ao gradiente de
. Ou seja:
O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e tem componentes dadas pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, definimos o campo vetorial
como sendo igual ao gradiente de
:
Isso significa que
é derivado diretamente de
, indicando que
é, de fato, uma função potencial para o campo
.
Resposta
Sim, a função
é função potencial do campo vetorial
.
Exercícios relacionados
(a) Determine o volume abaixo do parabolóide
e acima da região
limitada pelas curvas
e
.
(b) Determine o volume abaixo do parabolóide
e acima da região
limitada pelas curvas
e
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Considere o campo vetorial
.
(a) Sabendo que é conservativo, determine uma função potencial para
.
(a) Sabendo que