(b) É correto afirmar que f(x, y) = sen(x^3 + y^3) é função pontencial de algum campo? Se sim, qual campo?

Passo 1

Então, a gente tem a função e queremos saber se ela é uma função potencial de algum campo vetorial. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma função potencial e como verificar se uma função dada pode ser usada para gerar um campo vetorial através do seu gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Uma função é chamada de função potencial para um campo vetorial se for igual ao gradiente de . Ou seja:
O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e tem componentes dadas pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, definimos o campo vetorial como sendo igual ao gradiente de :
Isso significa que é derivado diretamente de , indicando que é, de fato, uma função potencial para o campo .

Resposta

Sim, a função é função potencial do campo vetorial .

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