Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e o outro com r < 0. (1, -3 pi / 4)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um ponto dado em coordenadas polares: . O objetivo é:
  1. Marcar esse ponto no gráfico polar.
  2. Encontrar dois outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto:
    • Um com .
    • Outro com .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são coordenadas polares e como elas funcionam. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é representado por (r, θ), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem (centro do gráfico).
  • theta é o ângulo formado com o eixo positivo dos x.
No nosso caso, e . O ângulo negativo significa que vamos girar no sentido horário a partir do eixo positivo dos x.

Passo 3

Agora, vamos plotar o ponto . Para isso:
  1. Começamos no centro.
  2. Giramos radianos no sentido horário. Como pi radianos é 180 graus, é 135 graus.
  3. Medimos 1 unidade nessa direção.
Esse ponto fica no terceiro quadrante do gráfico polar.

Passo 4

Vamos encontrar um par com . Para isso, podemos adicionar ao ângulo para trazê-lo para um intervalo positivo:
Então, o par com é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar um par com . Quando r é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo dado. Para ajustarmos isso, adicionamos pi ao ângulo:
Então, o par com é .

Resposta

Os dois outros pares de coordenadas polares para o ponto são:

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