(b) Determine o volume abaixo do parabolóide z = x^2 + y^2 e acima da região R limitada pelas curvas x=0, y=x e y = raiz(1 - x^2).

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o volume abaixo do parabolóide e acima da região no plano . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos identificar os limites de integração definidos pelas curvas , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A curva representa a parte superior do círculo de raio 1 centrado na origem. A curva é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°. E é o eixo .

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção entre e , igualamos as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a interseção ocorre em .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. varia de 0 a . Para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 5

A expressão para o volume será:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas e técnicas de integração apropriadas.

Passo 8

Após resolver a integral, encontramos que o volume é:

Resposta

O volume solicitado é .

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