(b) Determine o volume abaixo do parabolóide
e acima da região
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o volume abaixo do parabolóide
e acima da região
no plano
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos identificar os limites de integração definidos pelas curvas
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A curva
representa a parte superior do círculo de raio 1 centrado na origem. A curva
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°. E
é o eixo
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção entre
e
, igualamos as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a interseção ocorre em
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração.
varia de 0 a
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 5
A expressão para o volume
será:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas e técnicas de integração apropriadas.
Passo 8
Após resolver a integral, encontramos que o volume
é:
Resposta
O volume solicitado é
.
Exercícios relacionados
Determine o intervalo de convergência e raio de convergência da função de Bessel de ordem zero definida por
.
Considere a função
.
(a) Calcule onde
.
(a) Calcule
(a) Determine o volume abaixo do parabolóide
e acima da região
limitada pelas curvas
e
.
(b) É correto afirmar que
é função pontencial de algum campo? Se sim, qual campo?